求证Λₙ(f)在ℝ上一致连续及相关符号理解疑问

首先回应你的核心疑问：

• 不能假设$f(x-y)=f(y)+K$：这个等式仅当$f$是常值函数时成立，对于一般连续函数完全不成立。比如取$f(t)=t$，$f(x-y)=x-y$，显然无法写成$y+K$的形式；再比如$f(t)=\sin t$，$f(x-y)=\sin(x-y)$也不可能表示为$\sin y + K$，所以这个思路行不通。

证明$\Lambda_n(f)$在$\mathbb{R}$上一致连续（默认$f$为有界连续函数） #

首先明确一致连续的定义：对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，$|\Lambda_n(f)(x_1)-\Lambda_n(f)(x_2)|<\varepsilon$对所有$x_1,x_2\in\mathbb{R}$成立。

步骤1：拆分表达式并应用三角不等式 #

计算差值的绝对值：
$$
|\Lambda_n(f)(x_1)-\Lambda_n(f)(x_2)| = \left|\frac{n}{\sqrt{\pi}}\int_{\mathbb{R}}[f(x_1-y)-f(x_2-y)]e^{-(ny)2}dy\right|
$$
根据积分三角不等式，可得：
$$
|\Lambda_n(f)(x_1)-\Lambda_n(f)(x_2)| \leq \frac{n}{\sqrt{\pi}}\int_{\mathbb{R}}|f(x_1-y)-f(x_2-y)|e^{-(ny)2}dy
$$

步骤2：分区域估计积分 #

将积分拆分为$|y|\leq A$和$|y|>A$两部分（$A$为待选正数）：

1. $|y|>A$的区域：
   因为$f$有界，设$|f(t)|\leq M$对所有$t\in\mathbb{R}$成立，则$|f(x_1-y)-f(x_2-y)|\leq 2M$。
   利用高斯核的归一性$\frac{n}{\sqrt{\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-(ny)2}dy=1$，选取足够大的$A$，使得：
   $$
   \frac{n}{\sqrt{\pi}}\int_{|y|>A}e^{-(ny)2}dy < \frac{\varepsilon}{4M}
   $$
   这部分积分的贡献小于：
   $$
   2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} = \frac{\varepsilon}{2}
   $$

2. $|y|\leq A$的区域：
   令$h=x_1-x_2$，则$x_1-y=(x_2-y)+h$。当$|y|\leq A$时，$x_2-y$的取值范围是紧区间$[x_2-A, x_2+A]$，而连续函数在紧集上一致连续，因此存在$\delta>0$，当$|h|<\delta$时，对所有$u\in[x_2-A, x_2+A]$，有：
   $$
   |f(u+h)-f(u)| < \frac{\varepsilon}{2}
   $$
   这部分积分的贡献小于：
   $$
   \frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{n}{\sqrt{\pi}}\int_{|y|\leq A}e^{-(ny)2}dy \leq \frac{\varepsilon}{2} \cdot 1 = \frac{\varepsilon}{2}
   $$

步骤3：合并结果 #

当$|x_1-x_2|=|h|<\delta$时，两部分积分的贡献之和小于$\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$，满足一致连续的定义。

注：若$f$是无界连续函数，情况会有所不同：比如$f(t)=t$时，$\Lambda_n(f)(x)=x$，显然一致连续；但$f(t)=e^{t$时，$\Lambda_n(f)(x)=e}x e^{1/(4n2)}$，该函数并非一致连续，因此题目大概率隐含$f$为有界连续函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user2005142