非负行随机矩阵方程AX=B的解存在性及条件问询

这个问题结合了非负矩阵、行随机矩阵的性质，属于矩阵方程和马尔可夫链分解的交叉领域，我来一步步拆解：

我们可以把问题拆解为更直观的约束条件：

首先，把未知矩阵$X$按列分块为$X = [\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, ..., \boldsymbol{x}_m]$，其中每个$\boldsymbol{x}k \in \mathbb{R}+^n$（非负向量）。原方程$AX=B$等价于：

• 对$B$的每一列$\boldsymbol{b}_k$（$k=1,2,...,m$），满足$A\boldsymbol{x}_k = \boldsymbol{b}_k$；
• 同时$X$是行随机矩阵，意味着对$X$的每一行$j$，$\sum_{k=1}^m x_{jk} = 1$（即$\sum_{k=1}^m \boldsymbol{x}_k = \boldsymbol{1}_n$，$\boldsymbol{1}_n$是$n$维全1向量）。

基于此，解存在的充要条件可以总结为：

1. 对$B$的每一列$\boldsymbol{b}_k$，线性方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}_k$存在非负解$\boldsymbol{x} \geq 0$；
2. 存在满足条件1的非负解$\boldsymbol{x}_1,...,\boldsymbol{x}_m$，使得这些向量的和等于$n$维全1向量$\boldsymbol{1}_n$。

对于条件1，我们可以用Farkas引理转化为可验证的形式：对任意$\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{m$，如果$\boldsymbol{y}}T A \geq \boldsymbol{0}^{T$（即$\boldsymbol{y}$与$A$的每一列的内积非负），则$\boldsymbol{y}}T \boldsymbol{b}_k \geq 0$（对所有$k=1..m$）。

答案是否，举两个简单的反例就能说明：

• 反例1：设$m=2$，$n=1$，$A = \begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix}$（行随机矩阵），$B = \begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}$（行随机矩阵）。此时$AX$的两行必然等于$X$的唯一行（因为$n=1$，$X$是1×2的行随机向量），所以$AX$的两行完全相同，但$B$的两行不同，因此不存在满足条件的$X$。
• 反例2：设$m=2$，$n=2$，$A = \begin{bmatrix}0.5&0.5\0.5&0.5\end{bmatrix}$（行随机矩阵），$B = \begin{bmatrix}0.6&0.4\0.4&0.6\end{bmatrix}$（行随机矩阵）。$AX$的两行都是$0.5X_1 + 0.5X_2$（$X_1,X_2$是$X$的两行），因此$AX$的两行必然相等，但$B$的两行不同，所以无解。

这个问题涉及多个研究领域，你可以从以下方向深入：

• 非负线性方程组的可行性：核心是Farkas引理的应用，以及非负解存在性的判定算法，这是线性规划、凸优化的基础内容。
• 马尔可夫链的转移矩阵分解：行随机矩阵本质是马尔可夫链的转移矩阵，$AX=B$可以理解为：是否存在一个中间状态集的转移矩阵$X$，使得从原状态集经$A$到中间状态，再经$X$回到原状态的复合转移矩阵为$B$。可以关注马尔可夫链的因子分解、转移矩阵的结构约束问题。
• 带约束的非负矩阵分解（NMF）：标准NMF是将矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，这里额外增加了行随机的约束，属于带结构约束的NMF分支，相关研究关注约束下的分解可行性、高效求解算法。
• 凸分析中的凸包与锥理论：行随机矩阵的行属于概率单纯形，$AX$的行是$X$行的凸组合，因此问题和单纯形上的凸组合表示、凸锥的包含关系密切相关，可以参考凸分析中关于凸包、锥的表示定理。

经典参考资料可以看《Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences》（Berman & Plemmons），里面详细覆盖了非负矩阵方程、随机矩阵的性质；还有《Introduction to Linear Optimization》（Bertsimas & Tsitsiklis），关于非负解存在性的判定有系统讲解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者matzgud_89