洗牌后牌组顶牌与底牌的概率计算及求和概率求解

嘿，我们来一步步搞定这两个概率问题！首先明确前提：我们有10张编号为1到6的牌（属于数字可重复的多重集合），洗牌后得到一个均匀随机的排列，顶牌是排列的第一张，底牌是最后一张。

我们先定义三个互斥且覆盖所有可能的事件：

• 事件A：底牌数字 > 顶牌数字
• 事件B：底牌数字 < 顶牌数字
• 事件C：底牌数字 = 顶牌数字

根据概率的基本性质，这三个事件满足：
P(A) + P(B) + P(C) = 1

利用对称性简化计算 #

由于洗牌是完全随机的，对于任意两个不同数字的牌，“顶牌是a、底牌是b”（a≠b）的概率，和“顶牌是b、底牌是a”的概率完全相等。这意味着P(A) = P(B)，所以我们只需要算出P(C)，就能轻松推导出P(A)：
P(A) = (1 - P(C)) / 2

计算事件C的概率 #

假设数字k（k=1到6）对应的牌的数量为n_k，显然满足n₁ + n₂ + ... + n₆ = 10。
要计算顶牌和底牌数字相同的概率，我们先算符合条件的排列数：

• 对于每个数字k，选一张k作为顶牌（有n_k种选择），再选另一张k作为底牌（有n_k - 1种选择），剩下8张牌可以任意排列（有8!种方式）
• 所有数字的符合条件排列数总和为Σ[n_k * (n_k - 1) * 8!]

总排列数是10!，因此：
P(C) = [Σn_k(n_k - 1) * 8!] / 10! = Σn_k(n_k - 1) / 90

举个实际例子验证 #

比如假设1-4号各有2张牌，5、6号各有1张牌（总和24+12=10）：
Σn_k(n_k - 1) = 2*1 + 2*1 + 2*1 + 2*1 + 1*0 + 1*0 = 8
P(C) = 8/90 = 4/45
P(A) = (1 - 4/45)/2 = 41/90 ≈ 0.456

首先，我们找出所有满足a + b = 4的数字对(a,b)：

• (1,3)：顶牌是1，底牌是3
• (3,1)：顶牌是3，底牌是1
• (2,2)：顶牌和底牌都是2

我们分别计算每种情况的有效排列数，再求和除以总排列数即可得到概率。

计算各情况的排列数 #

1. (1,3)和(3,1)的情况：
   顶牌选1（n₁种选择）、底牌选3（n₃种选择）的排列数是n₁ * n₃ * 8!；同理，顶牌选3、底牌选1的排列数也是n₃ * n₁ * 8!，两者加起来总和为2 * n₁ * n₃ * 8!
2. (2,2)的情况：
   顶牌选2（n₂种选择）、底牌选另一张2（n₂ - 1种选择）的排列数是n₂ * (n₂ - 1) * 8!

计算最终概率 #

总符合条件的排列数为[2n₁n₃ + n₂(n₂ - 1)] * 8!，除以总排列数10!后得到：
P(S=4) = [2n₁n₃ + n₂(n₂ - 1)] / 90

代入例子验证 #

还是用之前的例子（n₁=n₂=n₃=2，n₄=2，n₅=n₆=1）：
2*2*2 + 2*1 = 8 + 2 = 10
P(S=4) = 10/90 = 1/9 ≈ 0.111

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user110320