闭子概型欧拉示性数计算：射影k-概型χ(X,𝒪_X(-d))求解

嘿，我来帮你理清这个问题的解决思路～你最初想用理想层的短正合序列是个不错的方向，只是需要调整一下切入点，下面一步步来：

核心思路：利用短正合序列的欧拉示性数可加性 #

首先明确一个关键性质：对于概型上的任何短正合序列 0 → A → B → C → 0，欧拉示性数满足可加性：χ(C) = χ(B) - χ(A)。

你之前写的序列有点小问题，正确的应该是把X嵌入某个射影空间 ℙ_k^n（因为X是射影概型，必然可以嵌入），此时存在短正合序列：

0 → J_X → 𝒪_{ℙ^n} → 𝒪_X → 0

其中 J_X 是X在 ℙ^n 中的理想层。我们把这个序列扭曲到 -d（也就是和 𝒪_{ℙ^n}(-d) 做张量积），得到：

0 → J_X(-d) → 𝒪_{ℙ^n}(-d) → 𝒪_X(-d) → 0

对这个序列应用欧拉示性数的可加性，就得到：

χ(X, 𝒪_X(-d)) = χ(ℙ^n, 𝒪_{ℙ^n}(-d)) - χ(ℙ^n, J_X(-d))

第一步：计算射影空间的欧拉示性数 χ(ℙ^n, 𝒪_{ℙ^n}(-d)) #

射影空间的上同调性质是已知的，我们可以用广义组合数来统一表示这个欧拉示性数：

• 对于任意整数 d，χ(ℙ^n, 𝒪_{ℙ^n}(-d)) = \binom{n - d}{n}
  这里的组合数是广义的，当 n - d 是负数时，公式为 \binom{m}{n} = \frac{m(m-1)\dots(m-n+1)}{n!}（比如 n=2, d=3 时，\binom{2-3}{2} = \frac{(-1)(-2)}{2} = 1，和实际计算的欧拉示性数一致）。
• 当 d > n 时，也可以用Serre对偶转化为更直观的形式：χ(ℙ^n, 𝒪_{ℙ^n}(-d)) = (-1)^n \binom{d-1}{n}，这个结果和广义组合数的计算是等价的。

第二步：处理理想层的欧拉示性数 χ(ℙ^n, J_X(-d)) #

这部分确实需要结合X的具体结构，不过有几个常用的场景可以直接计算：

场景1：X是超曲面（次数为s） #

如果X是 ℙ^n 中次数为s的超曲面，那么它的理想层 J_X ≅ 𝒪_{ℙ^n}(-s)，此时 J_X(-d) ≅ 𝒪_{ℙ^n}(-s-d)，代入可加性公式：

χ(X, 𝒪_X(-d)) = \binom{n - d}{n} - \binom{n - s - d}{n}

比如当X是 ℙ^2 中次数为s的曲线时，代入后化简就能得到 χ(X, 𝒪_X(-d)) = -s·d + (1 - g)，其中g是曲线的亏格，和Hilbert多项式的结果一致。

场景2：用Hilbert多项式直接求值 #

对于任意射影子概型X，χ(X, 𝒪_X(m)) 恰好等于X的Hilbert多项式 P_X(m)，这是一个次数等于 dim X 的多项式。如果你已知X的Hilbert多项式，直接代入 m = -d 就能得到答案。
比如维数为r、次数为 deg X 的射影概型，Hilbert多项式的首项是 \frac{deg X}{r!} m^r，后续系数和X的算术亏格等不变量相关。

场景3：光滑射影概型的Serre对偶技巧 #

如果X是光滑的r维射影概型，还可以用Serre对偶简化计算：

χ(X, 𝒪_X(-d)) = (-1)^r χ(X, ω_X ⊗ 𝒪_X(d))

其中 ω_X 是X的对偶层（典范层）。比如X是 ℙ^r 时，ω_X ≅ 𝒪_X(-r-1)，代入后就能得到和之前一致的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sheel Stueber