寻找ℝ中的m-可测集：双不可数补集为何非m-可测？

要搞懂这个问题，核心得紧扣Carathéodory可测性条件——这是判断一个集合是否关于外测度可测的核心标准：

集合A⊆ℝ是m-可测的，当且仅当对任意集合E⊆ℝ，都满足：
m(E) = m(E ∩ A) + m(E ∩ A^c)

先再明确一下题目里给的外测度m的定义：

• 若A是可数集，m(A)=0；
• 若A和它的补集A^c都是不可数集，m(A)=1/2；
• 若A^c是可数集，m(A)=1。

现在我们要证明：当A和A^c均不可数时，A一定不是m-可测的。用反证法+构造反例的思路来推导：

假设A是不可数且余不可数的（也就是m(A)=1/2），我们只需要找到一个集合E⊆ℝ，让它不满足卡氏条件就行。

构造反例集合E #

因为A不可数，所以A和区间[0,1]的交集必然不可数（否则A就是可数集，矛盾）；同理，A^{c不可数，所以A}c和区间[1,2]的交集也不可数（否则A^c就是可数集，矛盾）。

取E=[0,2]：

• E本身是不可数集，且它的补集ℝ\E=(-∞,0)∪(2,+∞)也是不可数集，所以m(E)=1/2。

计算E∩A和E∩A^c的外测度 #

1. E∩A的外测度：
   E∩A = ([0,1]∩A) ∪ ([1,2]∩A)，其中[0,1]∩A是不可数的，所以E∩A整体不可数；
   它的补集是ℝ\(E∩A) = (-∞,0)∪(2,+∞) ∪ ([0,2]\A)，而[0,2]\A包含不可数的[1,2]∩A^c，所以补集也是不可数的。
   根据m的定义，m(E∩A)=1/2。

2. E∩A^c的外测度：
   E∩A^c = ([0,1]∩A^c) ∪ ([1,2]∩A^{c)，其中[1,2]∩A}c是不可数的，所以E∩A^c整体不可数；
   它的补集是ℝ\(E∩A^c) = (-∞,0)∪(2,+∞) ∪ ([0,2]∩A)，包含不可数的[0,1]∩A，所以补集也是不可数的。
   根据m的定义，m(E∩A^c)=1/2。

验证卡氏条件不成立 #

现在看：
m(E) = 1/2，而m(E∩A) + m(E∩A^c) = 1/2 + 1/2 = 1，显然1/2 ≠ 1，这直接违反了卡氏可测性条件。

这就说明，当A和A^c均不可数时，存在至少一个集合E让卡氏条件不成立，因此A不是m-可测集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wtnmath