条件(C)是否为柯西序列的等价判定准则？

嘿，这个问题挺有意思的，咱们先把问题里的核心定义再明确一下，避免混淆：

众所周知，度量空间中序列$(x_n)n$是柯西序列当且仅当：
$$\forall \epsilon>0,,\exists N \text{ such that }\forall n,m\geq N, d(x_n,x_m)\leq \epsilon.$$
而条件(C)是说：对任意满足$\lim_n \phi(n)=\lim_n\psi (n)=+\infty$的序列$\phi,\psi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，均有
$$\lim_n d(x{\phi(n)},x_{\psi(n)})=0.$$

题目里已经说了所有柯西序列都满足条件(C)，那关键就是反过来：满足条件(C)的序列是不是一定是柯西序列？

结论：是的，两者等价！ #

我用反证法来给你证明为什么满足条件(C)的序列必是柯西序列：

假设存在一个序列$(x_n)$满足条件(C)，但不是柯西序列。根据柯西序列的否定定义，这意味着存在某个固定的$\epsilon_0 > 0$，不管你取多大的$N$，总能找到两个下标$n,m \geq N$，使得$d(x_n, x_m) > \epsilon_0$。

那咱们就用这个$\epsilon_0$来构造两个“坏”的序列$\phi$和$\psi$：

• 先取$N_1=1$，按照假设，能找到$n_1,m_1 \geq 1$，让$d(x_{n_1},x_{m_1}) > \epsilon_0$；
• 接着取$N_2 = \max(n_1,m_1) + 1$，同样能找到$n_2,m_2 \geq N_2$，满足$d(x_{n_2},x_{m_2}) > \epsilon_0$；
• 就这么递归下去，每一步都取$N_k = \max(n_{k-1},m_{k-1}) + 1$，然后找到对应的$n_k,m_k$。

现在把这些$n_k$和$m_k$分别作为$\phi(k)$和$\psi(k)$的值：

• 因为$N_k$是严格递增的，所以$\phi(k)=n_k$和$\psi(k)=m_k$都会随着$k$增大趋于无穷大；
• 但每一个$d(x_{\phi(k)},x_{\psi(k)})$都大于$\epsilon_0$，所以它们的极限不可能是0，这直接违反了条件(C)。

这就说明咱们最开始的假设不成立——满足条件(C)的序列不可能不是柯西序列。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lukas