如何证明某数不属于代数整数环？以ℚ(2^(1/3))为例

已知$\alpha=2^{1/3}$，$K=\mathbb{Q}(\alpha)$，代数整数环$O_K=\mathbb{Z}[\alpha]$，要证：当$x,y,z\in{0,1}$且不全为0时，$\beta=(x+yα+zα²)/2 \notin O_K$。

方法一：利用代数整数的范数性质 #

首先回忆核心性质：如果$\beta$是代数整数，那么它的范数$N_{K/\mathbb{Q}}(\beta)$必须是整数。这是因为范数是$\beta$所有共轭根的乘积，而代数整数是首一整系数多项式的根，其常数项就是$\pm N(\beta)$，必然是整数。

$K$有三个复嵌入：$\sigma_1(\alpha)=\alpha$，$\sigma_2(\alpha)=\alpha\omega$，$\sigma_3(\alpha)=\alpha\omega^{2$，其中$\omega=(-1+i\sqrt{3})/2$是三次单位根（满足$\omega}3=1$，$1+\omega+\omega^2=0$）。

我们分所有非零情况计算$\beta$的范数：

• 情况1：$x=1,y=0,z=0$：$\beta=1/2$，范数$N(\beta)=(1/2)^3=1/8$，不是整数，排除。
• 情况2：$x=0,y=1,z=0$：$\beta=\alpha/2$，范数$N(\beta)=(\alpha/2)(\alpha\omega/2)(\alpha\omega^{2/2)=\frac{\alpha}3\omega^3}{8}=\frac{2\times1}{8}=1/4$，不是整数，排除。
• 情况3：$x=0,y=0,z=1$：$\beta=\alpha^{2/2$，范数$N(\beta)=\frac{(\alpha}2)^3\omega3}{8}=\frac{(\alpha³⁾2\times1}{8}=\frac{4}{8}=1/2$，不是整数，排除。
• 情况4：$x=1,y=1,z=0$：$\beta=(1+\alpha)/2$，范数分子为$(1+\alpha)(1+\alpha\omega)(1+\alpha\omega^{2)$，展开后利用$1+\omega+\omega}2=0$和$\alpha^3=2$，可得分子为$3$，因此$N(\beta)=3/8$，不是整数，排除。
• 情况5：$x=1,y=0,z=1$：$\beta=(1+\alpha^{2)/2$，范数分子为$(1+\alpha}2)(1+\alpha^2\omega2)(1+\alpha^2\omega)$，同理展开后得分子为$5$，$N(\beta)=5/8$，不是整数，排除。
• 情况6：$x=0,y=1,z=1$：$\beta=(\alpha+\alpha^{2)/2$，范数分子为$\alpha(1+\alpha)\cdot\alpha\omega(1+\alpha\omega)\cdot\alpha\omega}2(1+\alpha\omega^2)=\alpha3\omega^3\times3=2\times1\times3=6$，因此$N(\beta)=6/8=3/4$，不是整数，排除。
• 情况7：$x=1,y=1,z=1$：$\beta=(1+\alpha+\alpha^{2)/2$，范数$N(\beta)=\frac{N(1+\alpha+\alpha}2)}{8}$，而$N(1+\alpha+\alpha^{2)=1$（因为$1+\alpha+\alpha}2=1/(\alpha-1)$，$N(\alpha-1)=1$），所以$N(\beta)=1/8$，不是整数，排除。

所有情况的范数都不是整数，因此这些$\beta$都不是代数整数，自然不属于$O_K$。

方法二：迹+范数结合（更快捷） #

除了范数，代数整数的迹（所有共轭根的和）也必须是整数。先计算$\beta$的迹：
$$
\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\beta)=\frac{x+y\alpha+z\alpha^2 + x+y\alpha\omega+z\alpha^2\omega2 + x+y\alpha\omega^2+z\alpha2\omega}{2}
$$
利用$1+\omega+\omega^2=0$，上式化简为$\text{Tr}(\beta)=\frac{3x}{2}$。

如果$\beta$是代数整数，那么$\frac{3x}{2}$必须是整数。由于$x\in{0,1}$，只有$x=0$满足条件（$x=1$时$3/2$不是整数，直接排除所有$x=1$的情况）。

接下来只需验证$x=0$的三种非零情况：

• $\beta=\alpha/2$：范数$1/4\notin\mathbb{Z}$，排除；
• $\beta=\alpha^2/2$：范数$1/2\notin\mathbb{Z}$，排除；
• $\beta=(\alpha+\alpha^2)/2$：范数$3/4\notin\mathbb{Z}$，排除。

同样可以得出结论：所有符合条件的$\beta$都不属于$O_K$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者anonymousgoose