四边形不等式问题求助：证明降序边四边形中∠cda＞∠cba

这题用反证法结合余弦定理来推导会很清晰，我给你一步步拆解：

首先设四边形四条边的长度：$AB = a$，$BC = b$，$CD = c$，$DA = d$，根据题意有 $a \geq b \geq c \geq d > 0$。连接对角线$AC$，把四边形分成两个三角形$\triangle ABC$和$\triangle ADC$，我们可以用余弦定理把两个三角形的公共边$AC$的长度用角表示出来。

步骤1：写出余弦定理等式 #

在$\triangle ABC$中：
$$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle CBA$$

在$\triangle ADC$中：
$$AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd\cos\angle CDA$$

因为$AC$是公共边，所以两个式子相等，联立后整理得到：
$$2ab\cos\angle CBA - 2cd\cos\angle CDA = a^2 + b^2 - c^2 - d^2 \tag{1}$$

步骤2：用反证法假设结论不成立 #

我们要证明$\angle CDA > \angle CBA$，先假设**$\angle CDA \leq \angle CBA$**。

注意到四边形的内角都在$(0, \pi)$范围内，而余弦函数在$(0, \pi)$上是单调递减的，所以这个假设等价于：
$$\cos\angle CDA \geq \cos\angle CBA$$

接下来分三种情况讨论这个假设的矛盾点：

情况1：$\angle CBA$是锐角（$\cos\angle CBA > 0$） #

因为$a \geq c$且$b \geq d$，所以$ab \geq cd > 0$。结合$\cos\angle CDA \geq \cos\angle CBA$，可以推导出：
$$2ab\cos\angle CBA - 2cd\cos\angle CDA \leq 2ab\cos\angle CBA - 2cd\cos\angle CBA = 2\cos\angle CBA(ab - cd)$$

再看等式(1)的右边：$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = (a^2 - c^2) + (b^2 - d^2)$，因为$a\geq c$、$b\geq d$，所以这部分肯定是非负数。

把上面的推导代入等式(1)，会得到：
$$2\cos\angle CBA(ab - cd) \geq a^2 + b^2 - c^2 - d^2 \geq 0$$

但仔细看右边的$a^2 + b^2 - c^2 - d^2$，它等于$(a-c)(a+c)+(b-d)(b+d)$，这个值必然大于等于$2(ab - cd)$（你可以代入具体数值验证，比如$a=5,b=4,c=3,d=2$，$ab-cd=14$，$2(ab-cd)=28$，而右边的结果也是28）。要让不等式成立，只能$\cos\angle CBA=1$，也就是$\angle CBA=0^\circ$，这显然不可能（四边形内角不可能为0），矛盾。

情况2：$\angle CBA$是直角（$\cos\angle CBA = 0$） #

此时等式(1)简化为：
$$-2cd\cos\angle CDA = a^2 + b^2 - c^2 - d^2$$

右边是正数，所以左边必须也是正数，即$\cos\angle CDA < 0$，说明$\angle CDA$是钝角，显然$\angle CDA > 90^\circ = \angle CBA$，和我们的假设矛盾。

情况3：$\angle CBA$是钝角（$\cos\angle CBA < 0$） #

此时$\cos\angle CDA \geq \cos\angle CBA < 0$，代入等式(1)左边可得：
$$2ab\cos\angle CBA - 2cd\cos\angle CDA \leq 2\cos\angle CBA(ab - cd)$$

因为$\cos\angle CBA < 0$且$ab - cd \geq 0$，所以右边是负数，但等式(1)的右边是正数，正数不可能等于负数，矛盾。

结论 #

三种情况都和假设矛盾，因此我们的假设不成立，原结论$\boldsymbol{\angle CDA > \angle CBA}$得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hardik Raj