四组关联共线点的六点共线性证明技术问询

先直接给结论：仅依据你给出的条件，无法证明这六个点全部共线，我们可以通过坐标构造反例来严谨说明这一点：

构造反例（坐标法） #

在平面直角坐标系中定义所有点：

• 设 $A=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(2,0)$，这三个点在x轴上，满足 $(A,B,C)$ 共线；
• 取直线 $y=x-2$，在这条线上取 $D=(3,1)$、$E=(4,2)$，而 $C=(2,0)$ 也在这条直线上，满足 $(C,D,E)$ 共线；
• 求直线 $BE$ 的方程：$B=(1,0)$ 到 $E=(4,2)$ 的斜率为 $\frac{2}{3}$，方程为 $y=\frac{2}{3}(x-1)$；
• 求直线 $AD$ 的方程：$A=(0,0)$ 到 $D=(3,1)$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$，方程为 $y=\frac{1}{3}x$；
• 联立两条直线方程，解得交点 $F=(2,\frac{2}{3})$。

验证所有条件 #

• $(B,E,F)$ 共线：$F$ 显然在直线 $BE$ 上，满足要求；
• $(A,D,F)$ 共线：$F$ 也在直线 $AD$ 上，满足要求；
• 任意两组共线点组均共享一个点：
  • $(A,B,C)$ 与 $(C,D,E)$ 共享点 $C$；
  • $(A,B,C)$ 与 $(B,E,F)$ 共享点 $B$；
  • $(A,B,C)$ 与 $(A,D,F)$ 共享点 $A$；
  • $(C,D,E)$ 与 $(B,E,F)$ 共享点 $E$；
  • $(C,D,E)$ 与 $(A,D,F)$ 共享点 $D$；
  • $(B,E,F)$ 与 $(A,D,F)$ 共享点 $F$。

但很明显，$D$、$E$、$F$ 都不在x轴上，六个点并非全部共线，这就直接推翻了“六个点必共线”的结论。

补充：添加什么条件能让结论成立？ #

如果加上额外约束，比如假设存在某个点属于至少三组共线点组，或者某条直线上存在四个点，就可以推导出所有点共线。但仅依据你给出的原始条件，无法完成这个证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user061703