二项式系数交替求和的求值证明方法咨询

嘿，这个问题挺有意思的，咱们先把最基础的等价性说清楚，再聊证明方法，保证你能看明白～

第一步：先确认两个求和式是一回事 #

咱们把左边的求和式逐项展开看看：

• 当i=0时：$\binom{n}{0} - \binom{n}{-1}$，按照题目规定$\binom{n}{-1}=0$，所以这一项就是$\binom{n}{0}$，正好对应右边i=0的项$(-1)^0\binom{n}{0}$
• 当i=1时：$\binom{n}{2} - \binom{n}{1}$，对应右边i=1的$(-1)^{1\binom{n}{1}$和i=2的$(-1)}2\binom{n}{2}$
• 当i=2时：$\binom{n}{4} - \binom{n}{3}$，对应右边i=3的$(-1)^{3\binom{n}{3}$和i=4的$(-1)}4\binom{n}{4}$
• ...
• 当i=r时：$\binom{n}{2r} - \binom{n}{2r-1}$，对应右边i=2r-1的$(-1)^{{2r-1}\binom{n}{2r-1}$和i=2r的$(-1)}{2r}\binom{n}{2r}$

把左边所有项加起来，是不是正好就是右边从i=0到2r的$(-1)^i\binom{n}{i}$？这一步其实就是直接展开验证，没什么复杂的，先把等价性坐实了～

第二步：几种证明思路 #

既然已经确认两个式子等价，接下来咱们就针对右边的部分和来证明，给你三种常用的方法：

方法1：递推法（最直观的代数推导） #

咱们设$S(k) = \sum_{i=0}^{k}(-1)i\binom{n}{i}$，先找它的递推关系：

• 当k=0时，$S(0) = \binom{n}{0} = 1$，这个很明显
• 当k≥1时，$S(k) = S(k-1) + (-1)^k\binom{n}{k}$，毕竟就是在前k-1项的基础上多了第k项

然后利用组合数的经典递推公式$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$，代入进去拆分项：
$$
\begin{align*}
S(k) &= S(k-1) + (-1)^k\left(\binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\right)\
&= \sum_{i=0}^{k-1}(-1)i\binom{n}{i} + (-1)^k\binom{n-1}{k} + (-1)^k\binom{n-1}{k-1}\
\end{align*}
$$
再把$\binom{n}{i}$也拆成$\binom{n-1}{i} + \binom{n-1}{i-1}$，代入后整理一下，你会发现能化简出：
$$S(k) = S_{n-1}(k) - S_{n-1}(k-2)$$
这里$S_{m}(t)$就是n=m时求和到t项的结果。

当k=2r时，你可以用这个递推式一步步往下算，比如从n=1、n=2这种小值开始试，很快就能找到规律，推导起来也不复杂。

方法2：二项式定理+复数技巧 #

咱们都记得二项式定理：$(1+x)^n = \sum_{i=0}^{{n}\binom{n}{i}x}i$，如果令x=-1，就能得到$\sum_{i=0}^{n}(-1)i\binom{n}{i} = 0^n$（n≥1时是0，n=0时是1）。但咱们的求和是到2r，不是到n，所以可以把完整的和拆成两部分：
$$\sum_{i=0}^{n}(-1)i\binom{n}{i} = \sum_{i=0}^{2r}(-1)i\binom{n}{i} + \sum_{i=2r+1}^{n}(-1)i\binom{n}{i}$$
那咱们要求的$S = \sum_{i=0}^{2r}(-1)i\binom{n}{i} = 0^n - \sum_{i=2r+1}^{n}(-1)i\binom{n}{i}$

另外，还可以用复数来辅助计算，比如利用$(1+i)^n$和$(1-i)n$的展开式（i是虚数单位）：

• $(1+i)^n = \sum_{k=0}^{{n}\binom{n}{k}i}k$，这里$i^{k$的规律是：偶数k时$i}k=(-1)^{{k/2}$，奇数k时$i}k=i(-1)^{(k-1)/2}$
• 把$(1+i)^n$和$(1-i)n$相加，能得到实部的两倍：$(1+i)^n + (1-i)^n = 2\sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}\binom{n}{2m}(-1)^m$
• 相减的话能得到虚部的两倍：$(1+i)^n - (1-i)^n = 2i\sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor}\binom{n}{2m+1}(-1)^m$

咱们的求和式S其实就是前r个偶项的带符号和，减去前r-1个奇项的带符号和，结合上面的复数展开式，就能把S用$(1+i)^n$和$(1-i)n$的组合表示出来，再化简就能得到结果，这个方法适合喜欢用代数技巧的同学。

方法3：组合解释（换个角度理解） #

如果从组合计数的角度看，这个求和式可以理解为：从n个元素里选0个（算+1）、减去选1个（算-1）、加上选2个（算+1）……直到选2r个，本质是一种带符号的选择计数。

举个例子，假设我们只考虑前2r个元素，每个元素有两种选择：选或不选，但选了奇数个元素时总贡献是负的，选偶数个时是正的，剩下的n-2r个元素不管选不选都不影响（因为咱们的求和只到2r项）。这种带符号的计数可以对应一些组合模型，比如“禁止选超过2r个元素的带符号排列”，不过这个解释不如代数方法直接，适合想从本质上理解这个求和意义的同学。

总结 #

先通过逐项展开验证了两个求和式的等价性，然后给了你三种证明思路：递推法（最直观）、二项式定理+复数技巧（代数味浓）、组合解释（理解本质）。你可以根据自己的需求选一种来推导，都能得到你已知的结果～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ultrainstinct