如何证明满足特定条件的条件期望不等式E[X|A] ≥ E[X] - P(Aᶜ)

嘿，我来一步步带你搞懂这个条件期望不等式的证明，核心是用全期望公式拆解，同时得注意这个不等式成立的前提条件哦~

关键基础回顾 #

先快速过一下要用到的核心知识点：

• 全期望公式：对任意满足$0<P(A)<1$的事件$A$，随机变量$X$的期望可以拆成两部分：
  $$E[X] = E[X|A]P(A) + E[X|A^{\complement]P(A}\complement)$$
• 条件期望定义：$E[X|A] = \frac{1}{P(A)}E\left[X \cdot I_A\right]$，这里$I_A$是$A$的指示函数——$A$发生时取1，否则取0。

推导步骤 #

1. 先把$E[X|A]$从全期望公式里解出来：
   $$E[X|A] = \frac{E[X] - E[X|A^{\complement]P(A}\complement)}{P(A)}$$

2. 这里要对$E[X|A^\complement]$做个估计才能往下走。如果我们假设**$X$几乎必然不超过1**（也就是$X \leq 1 \ \text{a.s.}$），根据期望的单调性，$E[X|A^\complement] \leq 1$，代入上式就有：
   $$E[X|A] \geq \frac{E[X] - P(A^\complement)}{P(A)}$$

3. 接下来对比$\frac{E[X] - P(A^\complement)}{P(A)}$和目标式$E[X] - P(A^\complement)$：
   因为$P(A) \leq 1$，所以$\frac{1}{P(A)} \geq 1$。这时候分两种情况：

   • 如果$E[X] \geq P(A^\complement)$，那么$(E[X] - P(A^\complement))$是非负的，乘以一个大于等于1的数后结果不会变小，也就是：
     $$\frac{E[X] - P(A^\complement)}{P(A)} \geq E[X] - P(A^\complement)$$
     把这个和步骤2的不等式结合起来，就得到了我们要证的$E[X|A] \geq E[X] - P(A^\complement)$。

补充：通用版无条件不等式 #

如果不对$X$做有界限制，我们可以得到一个对所有$E[X]<\infty$的随机变量都成立的通用不等式：
利用$E[X|A^\complement] \leq E[|X||A^\complement]$，代入变形后的全期望公式，就能得到：
$$E[X|A] \geq \frac{E[X] - E[|X|]P(A^\complement)}{P(A)}$$
这个式子不需要额外的有界或期望大小条件，适用性更广。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D.Derek