备考测度论：寻求可作示例或反例的趣味特殊函数

嘿，备考测度论考试找反例/示例？我这儿整理了几个经典又好用的奇特函数，专门对应你提到的几种收敛性（逐点a.e.、依测度、几乎一致收敛），绝对能帮你把各种收敛的区别掰扯清楚：

这是区分依测度收敛和逐点a.e.收敛的核心反例，构造在有限测度空间（比如$([0,1], \mathcal{L}, m)$，勒贝格测度）上：

• 把$[0,1]$依次分成$1$段、$2$段、$4$段、$8$段……第$n$个函数对应：当$n=2^m + k$（其中$m≥0$，$0≤k<2^m$）时，$f_n = \chi_{[k/2^m, (k+1)/2^{m]}$，也就是第$k$个长度为$1/2}m$的子区间的特征函数。
• 为什么依测度收敛到0：对任意$\varepsilon>0$（不妨设$\varepsilon<1$），${x: |f_n(x)-0|>\varepsilon}$就是$f_n$对应的区间，测度是$1/2^m$。当$n→∞$时，$m→∞$，所以这个测度趋于0，完全符合依测度收敛的定义。
• 为什么不逐点a.e.收敛：对任意$x∈[0,1]$，有无穷多个$n$使得$f_n(x)=1$（$x$会被无穷多个滑动的区间覆盖），也有无穷多个$n$使得$f_n(x)=0$，因此$\limsup |f_n(x)-0|=1≠0$，几乎处处不收敛。

这个反例只能出现在无穷测度空间（比如$(\mathbb{R}, \mathcal{L}, m)$）：

• 构造$f_n = \chi_{[n, n+1]}$，也就是每个$n$对应$[n,n+1]$上的特征函数。
• 为什么逐点a.e.收敛到0：对任意固定的$x∈\mathbb{R}$，当$n > x$时，$f_n(x)=0$，因此$\lim_{n→∞}f_n(x)=0$对所有$x$成立（当然更是a.e.收敛）。
• 为什么不依测度收敛：取$\varepsilon=1$，${x: |f_n(x)-0|>1}$就是$[n,n+1]$，测度恒为1，完全不趋于0，直接违反依测度收敛的要求。

划重点：在有限测度空间里，逐点a.e.收敛一定能推出依测度收敛（Egorov定理的推论），所以这个反例是无穷测度空间独有的。

构造在$([0,1], \mathcal{L}, m)$上：

• $f_n(x)=x^n$，逐点收敛到$f(x)=\begin{cases}0, & x∈[0,1) \ 1, & x=1\end{cases}$。
• 为什么几乎一致收敛到$f$：对任意$\varepsilon>0$，取$X_\varepsilon=[0,1-\varepsilon]$，在$X_\varepsilon$上，$|x^n - 0| ≤ (1-\varepsilon)^{n$，而$(1-\varepsilon)}n→0$当$n→∞$，所以在$X_\varepsilon$上$f_n$一致收敛到0；同时$m([0,1]\setminus X_\varepsilon)=m((1-\varepsilon,1])=\varepsilon$，满足几乎一致收敛的定义。
• 为什么不一致收敛：$\sup_{x∈[0,1]}|f_n(x)-f(x)| = \sup_{x∈[0,1)}x^n = 1$（当$x→1^-$时$xn→1$），不趋于0，因此完全达不到一致收敛的要求。

同样在$(\mathbb{R}, \mathcal{L}, m)$上：

• $f_n = \chi_{[n, +∞)}$，逐点收敛到0（对任意$x$，当$n>x$时$f_n(x)=0$）。
• 为什么不几乎一致收敛：假设存在几乎一致收敛，那么对$\varepsilon=1$，应该存在$X_\varepsilon⊂\mathbb{R}$，$m(\mathbb{R}\setminus X_\varepsilon)<1$，且$f_n$在$X_\varepsilon$上一致收敛到0。但$X_\varepsilon$的测度无穷大，必然包含某个$N$之后的所有点，即存在$x≥N$属于$X_\varepsilon$，此时$f_N(x)=1$，$|f_N(x)-0|=1$，根本无法满足一致收敛的要求，矛盾。

Cantor函数$C(x)$本身就是个“奇葩”：在$[0,1]$上单调递增、连续，导数几乎处处为0，但$C(0)=0$，$C(1)=1$。基于它构造：

• $f_n(x) = n\left(C\left(x+\frac{1}{n}\right)-C(x)\right)$，其中当$x+\frac{1}{n}>1$时，$C(x+\frac{1}{n})=1$。
• 为什么逐点a.e.收敛到0：因为$C(x)$的导数几乎处处为0，根据导数定义，$\lim_{n→∞}n(C(x+1/n)-C(x))=C’(x)=0$对a.e.$x∈[0,1]$成立。
• 为什么积分不收敛到0：计算积分$\int_0^1 f_n(x)dx = n\left(\int_{1/n}^1 C(t)dt - \int_0^{1-1/n}C(t)dt\right) = n\left(\int_{1-1/n}^1 C(t)dt - \int_0^{{1/n}C(t)dt\right)$。由于$C(t)$在$[1-1/n,1]$上≥$C(1-1/n)$，而$C(1-1/n)→1$当$n→∞$，所以$\int_{1-1/n}}1 C(t)dt≈1/n$，同理$\int_0^{1/n}C(t)dt≈0$，因此积分≈$n*(1/n)=1$，完全不趋于0。

这个例子能很好地打破“逐点收敛就一定积分收敛”的错觉，即使是在有限测度空间里也不成立。

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