直接计算2×2列联表p值：公式合理性及验证问询

嘿，这个问题挺有意思的——我来拆解一下你提到的这个公式，以及它和Fisher精确检验之间的关联：

公式的结构拆解 #

你给出的公式：
$$
1 - \bigg(1 - \frac{a + b}{N}\bigg)^{a + b} - (a + b)\bigg(\frac{a + b}{N}\bigg)\bigg(1 - \frac{a + b}{N}\bigg)^{a + b - 1}
$$
本质上是在计算二项分布的单侧累积概率：它等于 $P(X \geq 2)$，其中随机变量 $X$ 服从参数为 $n = a+b$（总事件数）、$p = \frac{a+b}{N}$（总样本的事件发生率）的二项分布。展开来看：

• $\bigg(1 - \frac{a + b}{N}\bigg)^{a + b}$ 是二项分布中 $X=0$ 的概率（没有事件发生的情况）
• $(a + b)\bigg(\frac{a + b}{N}\bigg)\bigg(1 - \frac{a + b}{N}\bigg)^{a + b - 1}$ 是 $X=1$ 的概率（恰好1个事件发生的情况）
• 用1减去这两个概率，得到的是“发生2个及以上事件”的概率。

与Fisher精确检验的关联 #

你提到这个公式的结果和Fisher精确检验近似，这主要是因为大样本下的分布近似：

• Fisher精确检验的核心前提是固定四个边际合计（两组样本量、总事件数、总非事件数），此时组1的事件数 $a$ 服从超几何分布。
• 当总样本量 $N$ 远大于总事件数 $a+b$ 时，不放回抽样（超几何分布的假设）和放回抽样（二项分布的假设）的差异可以忽略，超几何分布会趋近于二项分布。这时候两种方法计算的p值会非常接近。
• 另外，如果两组样本量相等、事件数占总样本的比例很低，这种近似的效果会更好，这可能是你观察到结果一致的场景。

方法的合理性与适用场景 #

这个公式的合理性需要结合抽样场景来看：

1. 适用场景：仅在大样本或事件发生率极低的情况下，这个近似方法才可靠，它的计算量比Fisher精确检验小（不需要计算复杂的组合数），适合快速估算。
2. 局限性：在小样本、稀疏列联表（比如单元格期望频数<5）的情况下，这个方法的偏差会很大——因为它没有考虑Fisher检验中“固定边际合计”的核心约束，本质上是基于“独立重复试验”的假设，和Fisher检验的抽样模型完全不同。
3. 理论依据：它的底层逻辑是二项分布的概率计算，假设每个样本是否发生事件是独立的，且两组的事件发生率相同（原假设 $H_0$）。但这个假设仅在大样本下能和Fisher检验的场景兼容，小样本下会偏离实际情况。

总结来说，这个公式是Fisher精确检验的一种大样本近似方法，在特定场景下结果接近，但不能替代Fisher精确检验作为小样本场景下的精确检验方法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者c06n