赌徒破产问题差分方程求解：如何消去参数a₁得最终解

首先要给你点个赞，你的推导思路完全正确！你已经成功推导出了通式 a_i = (2^i - 1)a₁，接下来只需要利用第二个边界条件消去常数 a₁ 就能得到最终解，具体步骤如下：

1. 代入边界条件 a_{i+2} = 1
   把你得到的通式中的下标 i 替换为 i+2，得到：

   a_{i+2} = (2^{i+2} - 1)a₁
   

2. 求解常数 a₁
   根据题目给出的边界条件 a_{i+2} = 1，将其代入上式：

   1 = (2^{i+2} - 1)a₁
   

   整理后可以解出 a₁：

   a₁ = 1/(2^{i+2} - 1)
   

3. 代入通式得到最终解
   把 a₁ 的表达式代回你之前推导出的通式 a_i = (2^i - 1)a₁，就得到了：

   a_i = (2^i - 1)/(2^{i+2} - 1)
   

简单验证解的合理性 #

我们可以快速验证这个解是否满足原差分方程：
取任意 i，计算右边的 (1/3)a_{i+1} + (2/3)a_{i-1}，代入最终解化简后会发现其结果与左边的 a_i 完全相等，同时也满足 a₀=0 和 a_{i+2}=1 的边界条件，说明推导是严谨有效的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gerry