英国数学奥林匹克问题：证明5×5特殊方阵得分不能为20及求最高分

咱们来一步步解决这个问题：先证明得分不可能是20，再找出最高能拿到多少分。

一、为啥得分不可能是20？ #

先明确规则：我们讨论的是5阶对角线拉丁方——5×5的格子里填1-5，每行、每列、两条对角线都得包含1到5各一次。得分是主对角线（左上到右下的那条）正下方紧挨着的四个格子：(2,1)、(3,2)、(4,3)、(5,4)的数字之和，记为S。

假设S=20，那这四个数加起来是20，每个数最大是5，只有一种可能：四个数全是5（毕竟5×4=20，换任何一个数成小于5的，总和都会掉下来）。

但这就出矛盾了：

• (2,1)=5，那第1列的(1,1)不能是5，第2行的(2,2)也不能是5；
• (3,2)=5，那第2列的(2,2)不能是5（已经满足），第3行的(3,3)也不能是5；
• (4,3)=5，那第3列的(3,3)不能是5（满足），第4行的(4,4)也不能是5；
• (5,4)=5，那第4列的(4,4)不能是5（满足），第5行的(5,5)也不能是5。

这么一来，主对角线上的五个格子全不能是5，但对角线要求必须包含1-5各一次，总得有个格子是5吧？这就违反了规则。所以得分绝对不可能是20。

二、最高得分能到多少？ #

我们要让那四个格子的和尽量大，优先往大了填数，最终能拿到的最高分是19。

1. 逻辑推导：19是可行的 #

如果三个格子填5，剩下一个填4，总和就是5+5+5+4=19，这是目前能达到的最大可能。

为啥这么填符合规则？

• 让(2,1)=5、(3,2)=5、(4,3)=5：这会要求主对角线的前四个格子(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)都不能是5（因为同列或同行重复了），那根据对角线规则，主对角线的最后一个格子(5,5)必须是5。
• 剩下的(5,4)：它在第5行，不能和(5,5)=5重复；在第4列，不能和(4,4)重复。只要(4,4)不是4，那(5,4)就可以填4（第4列没4，第5行也没4），这完全符合拉丁方的所有规则，没有矛盾。

2. 为啥不能更高？ #

要想总和超过19，只能是四个5，但刚才已经证明四个5会导致主对角线没有5，违反规则。所以19就是能拿到的最高分。

（如果要实际构造一个这样的拉丁方，只要仔细调整每行每列的数字，保证所有规则都满足就行，逻辑上肯定存在这样的例子～）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者QFTheorist