平面极坐标下热传导方程：圆柱截面温度分布求解

咱们一步步来解决这个问题哈：首先这是个轴对称的一维热传导问题——因为是高圆柱，轴向温度均匀不变，所以只需要考虑径向坐标$r$和时间$t$的函数$u(r,t)$。

1. 修正并明确控制方程与初边值条件 #

根据热传导的基本规律，结合题目给出的条件，完整的控制方程和初边值条件应该是：
$$\cases{
\frac{\partial u}{\partial t} = a\left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) \right) + \frac{q}{\rho c}, & 0<r<R, t>0 \
u(r,0) = 0, & 0\leq r\leq R \
u(R,t) = 0, & t>0 \
\left. \frac{\partial u}{\partial r} \right|_{r=0} = 0, & t>0
}$$
其中：

• $a = \frac{k}{\rho c}$是热扩散率，$k$为导热系数，$\rho$是密度，$c$是比热容；
• $q$是单位体积内的均匀生热率；
• 边界条件$u(R,t)=0$是因为忽略表面接触热阻，圆柱表面始终和0温度环境保持热平衡；
• $r=0$处的导数为0是轴对称性的必然结果（中心处温度梯度为0）。

2. 先求稳态解$u_s(r)$ #

当时间$t\to\infty$时，系统达到稳态，温度不再随时间变化，即$\frac{\partial u}{\partial t}=0$，此时方程简化为：
$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_s}{dr}\right) = -\frac{q}{k}$$
对这个常微分方程分步积分：

1. 第一次积分：$r\frac{du_s}{dr} = -\frac{q}{2k}r^2 + C_1$，结合$r=0$处导数为0的条件，得$C_1=0$；
2. 第二次积分：$u_s(r) = -\frac{q}{4k}r^2 + C_2$，代入边界条件$u_s(R)=0$，解得$C_2=\frac{qR^2}{4k}$。

最终稳态解为：
$$u_s(r) = \frac{q}{4k}(R^2 - r^2)$$

3. 求瞬态解$v(r,t)$ #

令$u(r,t) = u_s(r) + v(r,t)$，将其代入原控制方程，可得到$v(r,t)$满足的齐次方程和初边值条件：
$$\cases{
\frac{\partial v}{\partial t} = a\left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial v}{\partial r}\right) \right), & 0<r<R, t>0 \
v(r,0) = -u_s(r) = -\frac{q}{4k}(R^2 - r^2), & 0\leq r\leq R \
v(R,t) = 0, & t>0 \
\left. \frac{\partial v}{\partial r} \right|_{r=0} = 0, & t>0
}$$

这里用分离变量法求解：设$v(r,t)=F(r)G(t)$，代入方程后分离出两个常微分方程：

• 时间项：$G' + a\lambda G = 0$，解为$G(t)=Ce^{-a\lambda t}$；
• 空间项：$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dF}{dr}\right) + \lambda F = 0$，这是零阶贝塞尔方程，结合$r=0$处有界的条件，解为第一类零阶贝塞尔函数$J_0(\sqrt{\lambda}r)$。

利用边界条件$v(R,t)=0$，可得$J_0(\sqrt{\lambda}R)=0$。设$x_n$是零阶贝塞尔函数$J_0(x)$的第$n$个正根（比如$x_1\approx2.4048$，$x_2\approx5.5201$，$x_3\approx8.6537$等），则$\lambda_n = \left(\frac{x_n}{R}\right)^2$。

因此，$v(r,t)$可以展开为贝塞尔函数的级数形式：
$$v(r,t) = \sum_{n=1}^\infty A_n J_0\left( \frac{x_n r}{R} \right) e^{-a\left( \frac{x_n}{R} \right)^2 t}$$

接下来利用初始条件确定系数$A_n$，根据贝塞尔函数的正交性，计算得到：
$$A_n = \frac{2qR^2}{k x_n^3 J_1(x_n)}$$
其中$J_1(x)$是第一类一阶贝塞尔函数，且$J_1(x_n)\neq0$（因为$x_n$是$J_0(x)$的根，而$J_0'(x)=-J_1(x)$）。

4. 最终温度分布 #

把稳态解和瞬态解叠加，得到圆柱截面的温度分布：
$$u(r,t) = \frac{q}{4k}(R^2 - r^2) - \frac{2qR^2}{k} \sum_{n=1}^\infty \frac{J_0\left( \frac{x_n r}{R} \right)}{x_n^3 J_1(x_n)} e^{-a\left( \frac{x_n}{R} \right)^2 t}$$

如果用热扩散率$a$直接表示（替换$k=a\rho c$），也可以写成：
$$u(r,t) = \frac{q}{4a\rho c}(R^2 - r^2) - \frac{2qR^2}{a\rho c} \sum_{n=1}^\infty \frac{J_0\left( \frac{x_n r}{R} \right)}{x_n^3 J_1(x_n)} e^{-a\left( \frac{x_n}{R} \right)^2 t}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lozansky