混合态下密度矩阵的测量公设：是否存在全局变换？

Great question—this cuts to an important distinction between how we model measurements on mixed vs pure states, and what we mean by a "global transformation" in this context. Let's break this down step by step.

首先，先澄清一下你给出的公式：你的最终密度矩阵表达式可以化简，让它更直观。回忆一下，$q_{j|i} = \text{Tr}(P_j |\psi_i\rangle\langle\psi_i|) = \langle\psi_i|P_j|\psi_i\rangle$，也就是从纯态$|\psi_i\rangle$测量得到结果$a_j$的概率。而得到结果$a_j$的总概率是$q_j = \sum_i q_i q_{j|i} = \text{Tr}(P_j \rho)$。把这些代入你的表达式，最终的条件密度矩阵其实可以写成：
$$
\rho' = \frac{P_j \rho P_j}{\text{Tr}(P_j \rho)}
$$
这和量子力学中标准的后选择测量更新规则完全一致，所以我们可以用这个更简洁的形式来讨论。

核心问题：是否存在全局变换？ #

答案取决于你对“全局变换”的定义，以及是否考虑测量结果的经典信息：

1. 当你知道测量结果（后选择场景）

如果你已经得到了具体的测量结果$a_j$，那么从$\rho$到$\rho'$的更新确实是一个全局的条件变换——但它是一个完全正定保迹（CPTP）映射，而非幺正变换：

• 这个映射$\Phi_j(\rho) = \frac{P_j \rho P_j}{\text{Tr}(P_j \rho)}$作用在整个系统的密度矩阵上，完全不依赖于你最初把$\rho$分解成哪些纯态分量（$\sum_i q_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$只是$\rho$的一种混合分解，而变换只看$\rho$本身）。从这个角度说，它是全局的。
• 但它不是幺正变换：幺正变换是可逆的，且保熵，而投影测量（后选择）会丢弃信息、降低系统的熵，所以不可能用单一幺正变换实现这个过程。

2. 当你不知道测量结果（无后选择场景）

如果你只执行了测量，但没有记录或区分结果（相当于把所有测量后的态按概率混合），那么整个测量过程对应一个全局的非条件CPTP映射：
$$
\rho \rightarrow \sum_j P_j \rho P_j
$$
这是一个确定性的、作用在所有密度矩阵上的全局操作，不需要任何经典反馈，完全符合“全局变换”的直观理解。

3. 关于混合态分量的独立性

你给出的原始表达式把$\rho'$写成了各个纯态分量测量后的条件态的加权平均，这其实反映了混合态的本质：混合态是多个纯态的统计混合，测量时每个纯态分量独立经历测量过程，最终的条件态是这些分量的条件态按初始权重和测量条件概率重新加权的结果。但这个分解不影响全局变换的存在性——因为我们可以直接用$\rho$本身来描述变换，不需要依赖具体的纯态分解。

总结 #

• 如果你所说的“全局变换”指的是作用在整个系统密度矩阵上的统一映射（不依赖纯态分解），那么无论是后选择还是无后选择的测量过程，都存在这样的全局变换（分别是条件CPTP映射和非条件CPTP映射）。
• 如果你指的是幺正变换，则不存在这样的全局幺正变换，因为测量（尤其是后选择）是不可逆的信息丢失过程，而幺正变换是可逆且保信息的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者StarBucK