关于(p,α)-jumbled图及图边概率定义、计算与示例的技术咨询

嘿，我来帮你拆解这个问题。首先咱们先把$(p, α)$-jumbled图的标准定义补全（你提到的定义核心是导出子图的边数控制，标准表述是）：

一个图$G$被称为$(p, α)$-jumbled图，当且仅当对$G$的任意导出子图$H$，都满足：
$$|e(H) - p \binom{v(H)}{2}| ≤ α \sqrt{v(H)}$$
这里$v(H)$是子图$H$的顶点数，$e(H)$是$H$的边数，参数满足$0 < p < 1 ≤ α$。

一、图中“边的概率”是什么？ #

首先要明确：$(p, α)$-jumbled图是确定图（不是随机生成的图），这里的$p$是一个类比随机图的参数——它的作用和随机图$G(n,p)$中的边概率完全对应，但jumbled图本身没有“边概率”的随机性。

具体来说：

• 在随机图$G(n,p)$中，任意两个顶点之间连边的概率是$p$，所以任意$k$个顶点的导出子图的期望边数是$p\binom{k}{2}$。
• 而$(p, α)$-jumbled图通过“所有导出子图的边数都接近$p\binom{k}{2}$”这个条件，模拟了随机图的均匀边分布性质。所以$p$本质是jumbled图的边密度基准值，用来衡量图的稠密程度，和随机图的边概率扮演的角色一致。

二、如何计算这个参数$p$？ #

计算$p$分两种场景：

1. 已知某个图是$(p, α)$-jumbled图，反向推导$p$ #

• 近似计算（最常用）：把整个图$G$看作它自己的导出子图，代入jumbled的条件：
  $$|e(G) - p \binom{n}{2}| ≤ α \sqrt{n}$$
  其中$n$是$G$的顶点总数。当$n$足够大时，$α\sqrt{n}$相对于$p\binom{n}{2}$（量级是$O(n^2)$）可以忽略，所以$p$近似等于整个图的边密度：
  $$p ≈ \frac{e(G)}{\binom{n}{2}}$$
• 严格确定：如果要精确找到$p$，需要确保对所有导出子图$H$，$e(H)$都落在$p\binom{v(H)}{2} ± α\sqrt{v(H)}$的范围内。这种情况通常用于理论证明，实际中很少需要精确计算，用边密度近似足够。

2. 构造$(p, α)$-jumbled图时，预先设定$p$ #

很多经典的jumbled图是通过代数构造或随机图得到的，此时$p$是预先指定的参数：

• 比如随机图$G(n,p)$本身，当$n$足够大时，它几乎必然是$(p, O(\sqrt{np(1-p)}))$-jumbled图（通过Chernoff界可以证明），这里$p$就是我们设定的随机边概率。
• 再比如有限域上的射影平面构造的jumbled图，$p$可以通过代数结构的参数直接计算得到。

三、示例 #

示例1：随机图作为jumbled图 #

假设我们构造一个随机图$G(1000, 0.3)$，即1000个顶点，每对顶点之间连边的概率是0.3。

• 根据随机图的性质，这个图几乎必然满足jumbled条件：对任意$k$个顶点的导出子图$H$，$|e(H) - 0.3\binom{k}{2}| ≤ O(\sqrt{k0.30.7})$，所以它是$(0.3, O(\sqrt{210}))$-jumbled图。
• 这里的$p=0.3$就是我们预先设定的边概率，对应整个图的期望边密度：$\frac{0.3*\binom{1000}{2}}{\binom{1000}{2}}=0.3$。

示例2：确定图的$p$计算 #

假设有一个确定图$G$，顶点数$n=500$，总边数$e(G)=31187$。

• 先计算整个图的边密度：$\frac{31187}{\binom{500}{2}} = \frac{31187}{124750} ≈ 0.25$。
• 如果我们验证所有导出子图$H$都满足$|e(H) - 0.25\binom{v(H)}{2}| ≤ 8\sqrt{v(H)}$，那么这个图就是$(0.25, 8)$-jumbled图，这里的$p=0.25$就是通过边密度近似得到的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maxim Kasnedelchev