如何计算$f(x)=\frac{1}{A+B\cos2x+C\cos x}$的不定积分？换元法遇阻

嘿，我明白你为啥用$x=\tan t$换元卡住了——这个换元会引入根号，把积分搞得更复杂，反而走偏了。咱们换个思路，先把分母化简，再用通用的万能代换搞定这个积分，具体步骤如下：

首先，利用二倍角公式把$\cos2x$展开，简化分母：
$\cos2x=2\cos^2x -1$，代入原式分母可得：
$$A+B\cos2x +C\cos x = A+B(2\cos^2x-1)+C\cos x = 2B\cos^2x + C\cos x + (A-B)$$
现在分母变成了关于$\cos x$的二次多项式，这时候用万能代换（$t=\tan\frac{x}{2}$）是最稳妥的选择——它能把所有三角函数转化为有理函数，而有理函数的积分总是可以求解的。

万能代换的具体步骤 #

1. 核心代换公式：

   • $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t2}$
   • $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

2. 代入积分式化简：
   把$\cos x$和$dx$代入原积分，先计算分母部分：
   $$
   \begin{align*}
   2B\left(\frac{1-t^2}{1+t2}\right)^2 + C\left(\frac{1-t^2}{1+t2}\right) + (A-B) &= \frac{2B(1-t²⁾2 + C(1-t^2)(1+t2) + (A-B)(1+t²⁾2}{(1+t²⁾2}
   \end{align*}
   $$
   展开分子并合并同类项后，分子可简化为：
   $$(A+B-C)t^4 + (2A-6B)t^2 + (A+B+C)$$
   分母则是$(1+t²⁾2$。

3. 转化为有理函数积分：
   原积分随之转化为：
   $$
   \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}{\frac{(A+B-C)t}4 + (2A-6B)t^2 + (A+B+C)}{(1+t²⁾2}} = 2\int \frac{1+t^2}{(A+B-C)t4 + (2A-6B)t^2 + (A+B+C)} dt
   $$

4. 有理函数积分的收尾处理：
   对这个有理函数积分，我们可以分子分母同除以$t^2$，凑出可换元的形式：
   $$
   2\int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{(A+B-C)t2 + (2A-6B) + (A+B+C)\frac{1}{t^2}} dt
   $$
   令$u = t - \sqrt{\frac{A+B+C}{A+B-C}}\cdot\frac{1}{t}$（前提是$A+B-C\neq0$且$\frac{A+B+C}{A+B-C}>0$），则$du=\left(1+\frac{A+B+C}{(A+B-C)t^2}\right)dt$，调整后就能把积分转化为关于$u$的一次分式或反正切形式，进而求出原函数。

如果$A+B-C=0$，分母会退化为二次多项式，直接拆分或配方法就能求解，比如此时分母变为$(2A-6B)t^2 + 2(A+B)$，积分拆分后分别计算即可。

为啥$x=\tan t$换元行不通？ #

当你令$x=\tan t$时，$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}$，$\cos2x=\frac{1-t}2}{1+t^{2}$，代入分母后会出现$\frac{C}{\sqrt{1+t}2}}$这类根号项，导致积分变成含有无理根式的复杂形式，反而增加了求解难度，所以这个换元方向不对。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者saroj poudyal