n阶常微分方程转一阶向量方程的疑问：向量u分量定义困惑

嘿，你的猜测完全正确！这里的$w_j$就是原函数$w(t)$的j阶导数，咱们一步步把这个n阶方程转成一阶向量系统，就彻底清楚了：

核心定义：

• $w_0 = w(t)$（原函数本身）
• $w_1 = \frac{d}{dt}w_0 = \frac{d}{dt}w(t)$（w的一阶导数）
• $w_2 = \frac{d}{dt}w_1 = \frac{d^2}{dt2}w(t)$（w的二阶导数）
• ...
• $w_{n-1} = \frac{d^{n-1}}{dt{n-1}}w(t)$（w的n-1阶导数）
• $w_n = \frac{d^n}{dtn}w(t)$（w的n阶导数）

题目给出的$\frac{dw_j}{dt}=w_{j+1}$完美匹配这个定义——毕竟j阶导数的导数就是j+1阶导数嘛。

我们的目标是把n阶常微分方程转化为关于向量$u=(w_0, w_1, ..., w_n)$的一阶方程组，每个分量的导数都要能用向量里的分量表示出来：

1. 前n个分量的导数
   题目已经直接给出了：
   对于$j=0,1,...,n-1$，有：
   $$\frac{dw_j}{dt} = w_{j+1}$$

2. 最后一个分量$w_n$的导数
   这部分需要从原方程推导。原方程是：
   $$\sum_{s=0}^n \alpha_s \frac{d^s}{dts}w = V(w)$$
   把$\frac{d^s}{dts}w$替换成$w_s$，得到：
   $$\alpha_n w_n + \alpha_{n-1}w_{n-1} + ... + \alpha_1 w_1 + \alpha_0 w_0 = V(w_0)$$
   现在对等式两边关于$t$求导（因为我们需要$\frac{dw_n}{dt} = \frac{d^{n+1}}{dt{n+1}}w$）：
   $$\alpha_n \frac{dw_n}{dt} + \sum_{s=0}^{n-1}\alpha_s \frac{dw_s}{dt} = V'(w_0) \cdot \frac{dw_0}{dt}$$
   再把$\frac{dw_s}{dt}=w_{s+1}$（s≤n-1时成立）和$\frac{dw_0}{dt}=w_1$代入上式：
   $$\alpha_n \frac{dw_n}{dt} + \alpha_0 w_1 + \alpha_1 w_2 + ... + \alpha_{n-1}w_n = V'(w_0) w_1$$
   最后解出$\frac{dw_n}{dt}$：
   $$\frac{dw_n}{dt} = \frac{1}{\alpha_n}\left( V'(w_0)w_1 - \alpha_0 w_1 - \alpha_1 w_2 - ... - \alpha_{n-1}w_n \right)$$

把所有分量的导数整合起来，向量$u=\begin{pmatrix}w_0\w_1\\vdots\w_{n-1}\w_n\end{pmatrix}$的导数就可以写成：
$$\frac{du}{dt} = \begin{pmatrix}
w_1 \
w_2 \
\vdots \
w_n \
\frac{1}{\alpha_n}\left( V'(w_0)w_1 - \sum_{s=0}^{n-1}\alpha_s w_{s+1} \right)
\end{pmatrix}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eugene