求由$n$个自然数构成长度为$p$的不计排列唯一序列的数量

嘿，这个问题本质是组合数学里的可重复组合问题，咱们一步步来理清楚：

首先明确问题要求：从n个自然数里构成长度为p的序列，且不计排列的情况下唯一——换句话说，这些序列其实就是「不考虑顺序、允许重复选取」的结果，比如序列112和121在不计排列时是同一个，所以只算一次。

核心公式 #

这类问题的计算方式有个现成的组合数公式：
$$\binom{n + p - 1}{p}$$
或者等价写成 $\binom{n + p - 1}{n - 1}$（因为组合数有对称性 $\binom{a}{b} = \binom{a}{a-b}$，怎么方便怎么算）

用你的例子验证 #

咱们拿你给出的两个例子核对一下，确保公式靠谱：

• 当$p=4$、$n=3$时：
  代入公式得 $\binom{3+4-1}{4} = \binom{6}{4} = 15$，和你列出的15个序列完全对应，没错吧？
• 当$p=3$、$n=5$时：
  计算得 $\binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = 35$，数一下你给出的序列正好是35个，完美匹配。

公式的推导思路（隔板法） #

这个公式可以用隔板法轻松理解：把构造序列的过程看成是把p个「位置」分配给n个自然数，每个自然数拿到的位置数就是它在序列里出现的次数。

比如要把p个相同的球放进n个不同的盒子，咱们需要在p个球之间插n-1个隔板，总共就有 $p + n - 1$ 个位置（球+隔板），选p个位置放球（剩下的放隔板），对应的组合数就是 $\binom{n+p-1}{p}$。

举个小例子：n=3，p=4，就相当于把4个球放进3个盒子，比如盒子1放3个、盒子2放1个，对应序列就是1112（不计排列的话唯一），正好对应咱们的问题场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Richard Wilde