求证序列$u_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{\ln{k}}{k^2}$与$\frac{\ln n}{n}$的渐近等价性

这问题其实可以用积分与级数的比较估计来搞定，核心思路是利用单调函数的积分判别法相关不等式，结合已知的积分结果夹逼出渐近等价关系，具体步骤如下：

第一步：确认函数单调性 #

先看我们要研究的函数 $f(t)=\frac{\ln t}{t^2}$，求导可得：
$$f'(t)=\frac{1-2\ln t}{t^3}$$
当 $t>e^{1/2}$ 时，$f'(t)<0$，所以当 $n$ 足够大时，$f(t)$ 在 $[n,+\infty)$ 上严格单调递减，这是后续不等式成立的前提。

第二步：利用级数与积分的经典不等式 #

对于单调递减函数 $f(t)$，有如下不等式：

$$\int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}f(k) \leq f(n+1) + \int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt$$

我们已知积分结果 $\int_x^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln x +1}{x}$，代入 $x=n+1$ 可得：
$$\int_{n+1}^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln(n+1)+1}{n+1}$$

第三步：分析各项的渐近行为 #

我们的目标是证明 $u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{\ln k}{k^2}\sim\frac{\ln n}{n}$，所以需要分别分析不等式两边的项相对于 $\frac{\ln n}{n}$ 的阶：

1. 积分项的渐近等价性：
   $$\frac{\ln(n+1)+1}{n+1}=\frac{\ln n + \ln(1+\frac{1}{n}) +1}{n(1+\frac{1}{n})}$$
   因为 $\ln(1+\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n}=o(\ln n)$，$1+\frac{1}{n}\sim1$，所以：
   $$\frac{\ln(n+1)+1}{n+1}\sim\frac{\ln n}{n}$$

2. 余项的阶估计：
   $$f(n+1)=\frac{\ln(n+1)}{(n+1)^2}\sim\frac{\ln n}{n^2}$$
   显然 $\frac{\ln n}{n^2}=o\left(\frac{\ln n}{n}\right)$，因为 $\frac{\frac{\ln n}{n^2}}{\frac{\ln n}{n}}=\frac{1}{n}\to0$（当 $n\to+\infty$ 时）。

第四步：用夹逼准则证明渐近等价 #

把 $u_n$ 代入不等式，两边同时除以 $\frac{\ln n}{n}$：
$$\frac{\int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt}{\frac{\ln n}{n}} \leq \frac{u_n}{\frac{\ln n}{n}} \leq \frac{f(n+1) + \int_{n+1}^{+\infty}f(t)dt}{\frac{\ln n}{n}}$$

• 左边极限：
  $$\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{\ln(n+1)+1}{n+1}}{\frac{\ln n}{n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{\ln n + \ln(1+\frac{1}{n})+1}{\ln n}=1\cdot(1+0)=1$$

• 右边极限：
  $$\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{\ln(n+1)}{(n+1)^2} + \frac{\ln(n+1)+1}{n+1}}{\frac{\ln n}{n}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n\ln(n+1)}{(n+1)^2\ln n} + \frac{n(\ln(n+1)+1)}{(n+1)\ln n}\right)$$
  第一项极限为 $0$（分子是 $n\ln n$ 量级，分母是 $n^2\ln n$ 量级），第二项极限为 $1$，所以整体极限是 $0+1=1$。

根据夹逼准则，$\frac{u_n}{\frac{\ln n}{n}}\to1$，即：
$$u_n\sim\frac{\ln n}{n}\quad(n\to+\infty)$$

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