求∑₁¹⁹⁹⁵1/f(r)的值，f(r)为最接近⁴√r的整数
2026-5-19
没问题，我来一步步帮你解决这个求和问题。核心思路就是先确定每个整数k对应的r的范围（也就是哪些r的四次方根最接近k），再统计每个范围里r的数量，最后计算每个k对应的分数和，把所有结果加起来即可。
详细求解步骤
首先明确：对于整数k，若f(r)=k，说明⁴√r满足 k - 0.5 ≤ ⁴√r < k + 0.5——这个区间内的数到k的距离比到相邻整数的距离更近。我们对不等式两边取四次方（正数区间四次方单调递增，不等号方向不变），就能得到r的范围，再统计范围内的整数r个数。
1. 当k=1时
- 区间条件：
0.5 ≤ ⁴√r < 1.5 - 四次方后：
0.5⁴=0.0625 ≤ r < 1.5⁴=5.0625 - 整数r取值：1、2、3、4、5，共5个
- 这部分的和：
5 × (1/1) = 5
2. 当k=2时
- 区间条件：
1.5 ≤ ⁴√r < 2.5 - 四次方后：
1.5⁴=5.0625 ≤ r < 2.5⁴=39.0625 - 整数r取值：6到39，共
39-6+1=34个 - 这部分的和：
34 × (1/2) = 17
3. 当k=3时
- 区间条件：
2.5 ≤ ⁴√r < 3.5 - 四次方后：
2.5⁴=39.0625 ≤ r < 3.5⁴=150.0625 - 整数r取值：40到150，共
150-40+1=111个 - 这部分的和：
111 × (1/3) = 37
4. 当k=4时
- 区间条件：
3.5 ≤ ⁴√r < 4.5 - 四次方后：
3.5⁴=150.0625 ≤ r < 4.5⁴=410.0625 - 整数r取值：151到410，共
410-151+1=260个 - 这部分的和：
260 × (1/4) = 65
5. 当k=5时
- 区间条件：
4.5 ≤ ⁴√r < 5.5 - 四次方后：
4.5⁴=410.0625 ≤ r < 5.5⁴=915.0625 - 整数r取值：411到915，共
915-411+1=505个 - 这部分的和：
505 × (1/5) = 101
6. 当k=6时
- 区间条件：
5.5 ≤ ⁴√r < 6.5 - 四次方后：
5.5⁴=915.0625 ≤ r < 6.5⁴=1785.0625 - 整数r取值：916到1785，共
1785-916+1=870个 - 这部分的和：
870 × (1/6) = 145
7. 当k=7时
- 区间条件：
6.5 ≤ ⁴√r < 7.5 - 四次方后：
6.5⁴=1785.0625 ≤ r < 7.5⁴=3164.0625，但题目中r最大到1995，所以r范围是1786到1995 - 整数r个数：
1995-1786+1=210个 - 这部分的和：
210 × (1/7) = 30
最终求和
把所有部分的结果相加：5 + 17 + 37 + 65 + 101 + 145 + 30 = 400
所以这个求和式的结果是400。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT
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