乘积对乘数的求导方法及一般形式推广技术问询

首先，先解决你提到的反函数求导疑问：当$g(x)$在某点处可微且导数不为0时，根据反函数求导法则，确实有$\frac{dx}{dg} = \frac{1}{g'(x)}$。这个结论的前提是$g$在该点附近单调可逆，这样我们才能把$x$看作$g$的函数，进而求导。

乘积函数的例子验证 #

回到你给出的乘积函数$f(g(x),h(x))=g(x)h(x)$，除了用链式法则推导，我们也可以换个角度：把$g$当作自变量，那么$x$可以表示为$g$的反函数$x=g^{{-1}(g)$，$h$也就变成了$g$的函数$h(g)=h(g}{-1}(g))$。此时$f$对$g$的导数可以直接用乘积法则+链式法则计算：

$$
\frac{df}{dg} = h(g^{-1}(g)) + g \cdot \frac{d}{dg}h(g^{-1}(g))
$$

其中$\frac{d}{dg}h(g^{-1}(g)) = h'(x) \cdot \frac{dx}{dg} = \frac{h'(x)}{g'(x)}$，代入后就得到你推导的结果：

$$
\frac{df}{dg} = h(x) + g(x)\frac{h'(x)}{g'(x)}
$$

这个结果是完全正确的。

推广到一般二元复合函数 #

对于更一般的复合函数$f(x)=f(g(x),h(x))$，我们可以用多元函数链式法则结合反函数求导来推导$\frac{df}{dg}$：

1. 首先把$f$看作关于两个中间变量$u=g(x)$和$v=h(x)$的二元函数，即$f(u,v)$。
2. 当$g(x)$可逆（$g'(x)≠0$）时，$x$是$u$的函数$x=g^{{-1}(u)$，因此$v$也可以表示为$u$的函数$v=h(g}{-1}(u))$。
3. 对$u$求全导数（也就是$\frac{df}{dg}$，因为$u=g$），根据链式法则：

$$
\frac{df}{dg} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{du}{dg} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dg}
$$

其中：

• $\frac{du}{dg}=1$（因为$u=g$）；
• $\frac{dv}{dg} = \frac{dh}{dx} \cdot \frac{dx}{dg} = \frac{h'(x)}{g'(x)}$（用反函数求导法则替换$\frac{dx}{dg}$）。

把这些代入后，就得到一般形式：

$$
\frac{df}{dg} = \frac{\partial f}{\partial g} + \frac{\partial f}{\partial h} \cdot \frac{h'(x)}{g'(x)}
$$

这里需要注意：$\frac{\partial f}{\partial g}$是指把$f$看作$g$和$h$的二元函数时，对$g$的偏导数（此时$h$被视为常数）；$\frac{\partial f}{\partial h}$则是对$h$的偏导数。

举个例子验证：如果$f(g,h)=g^2 + h^3$，那么$\frac{\partial f}{\partial g}=2g$，$\frac{\partial f}{\partial h}=3h^2$，代入公式得到$\frac{df}{dg}=2g(x) + 3h(x)^2 \cdot \frac{h'(x)}{g'(x)}$，你可以通过把$x$换成$g$的反函数再求导，结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user8469759