Schatten p-范数是否为单调理想范数？希尔伯特空间算子问题求证

好问题！先直接给你结论：对于所有$p \geq 1$，Schatten p-范数都是单调理想范数——也就是说你描述的场景下，$\sigma_p(T) \leq \sigma_p(S)$完全成立，不止$p=2$的情况。下面一步步拆解为什么：

1. 条件转化为算子序
   你给出的$|Tx| \leq |Sx|$对所有$x \in H_1$，其实等价于正算子的偏序关系：$T^*T \leq S^*S$。原因很简单：
   $$|Tx|^2 = \langle T^*Tx, x \rangle \leq \langle S^*Sx, x \rangle = |Sx|^2$$
   对任意$x$成立，这正是正算子$A \leq B$的定义（$\langle Ax,x \rangle \leq \langle Bx,x \rangle$对所有$x$）。

2. 奇异值的单调性
   Schatten p-范数依赖于算子的奇异值，而$T$的奇异值$a_n(T)$是$T^*T$特征值的非负平方根，即$a_n(T) = \sqrt{\lambda_n(T^*T)}$（这里$\lambda_n(\cdot)$是按降序排列的特征值）。
   根据Weyl单调性定理，若$0 \leq A \leq B$（正算子），则它们按降序排列的特征值满足$\lambda_n(A) \leq \lambda_n(B)$对所有$n$。对应到我们的情况，就是$\lambda_n(T^*T) \leq \lambda_n(S^*S)$，两边开平方根后直接得到：
   $$a_n(T) \leq a_n(S) \quad \forall n$$

3. Schatten p-范数的不等式推导
   因为$p \geq 1$，函数$t \mapsto t^p$在非负实数域上是单调递增的，所以对每个奇异值的p次方求和后，不等号依然保持：
   $$\sum_{n=1}^\infty a_n(T)^p \leq \sum_{n=1}^\infty a_n(S)^p$$
   最后对两边取$1/p$次方（同样，$t \mapsto t^{1/p}$在非负实数域单调递增，不会反转不等号），就得到：
   $$\sigma_p(T) = \left( \sum_{n=1}^\infty a_n(T)^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{n=1}^\infty a_n(S)^p \right)^{1/p} = \sigma_p(S)$$

额外补充一点：其实所有对称范数（Schatten p-范数是其中的一类）都满足这种单调性，这是对称范数作为算子理想范数的核心性质之一。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者javi1996