有限维实线性空间下线性算子多项式集≠线性算子空间的证明求助

我来帮你梳理实向量空间下的证明思路，刚好可以结合你已经掌握的复空间方法来类比~

方法一：维数对比法（最直接） #

设dim V = n > 1，我们先明确两个空间的维数：

• 实线性算子空间ℒ(V)的维数是n²；
• 记集合S = {p(T) | p ∈ ℙ(ℝ)}，它是ℒ(V)的一个子空间，我们只需要证明dim S ≤ n，而当n>1时n < n²，自然就能推出S ≠ ℒ(V)。

根据Cayley-Hamilton定理，T满足自身的特征多项式q(λ) ∈ ℙ(ℝ)，也就是q(T) = 0，而q的次数恰好是n。对于任意实系数多项式p(λ)，我们可以做多项式除法：

p(λ) = q(λ)·s(λ) + r(λ)，其中r(λ)是次数≤n-1的实系数多项式

把T代入上式，因为q(T)=0，所以p(T) = r(T)。这意味着S里的所有元素，都能被I, T, T², ..., T^{n-1}这n个算子的实线性组合表示，因此dim S ≤ n。

当n>1时，n < n²，所以S是ℒ(V)的真子空间，必然不等于ℒ(V)。

方法二：不变子空间法（类比复空间思路） #

实向量空间上的线性算子有实Schur分解：总能找到V的一组基，让T在这组基下的矩阵是分块上三角矩阵——对角块要么是1阶实矩阵（对应实特征值），要么是2阶实矩阵（对应一对共轭复特征值）。

因为n>1，这个分块上三角矩阵至少存在一个非平凡的不变子空间U（1维或2维）：

• 如果T有实特征值λ，取对应的特征向量v，那么span(v)就是T的1维不变子空间；
• 如果T没有实特征值，它的复特征值是共轭成对的，比如a±bi，对应的实不变子空间是由复特征向量的实部和虚部张成的2维空间U。

关键结论：任意p(T)都会保持T的所有不变子空间。比如：

• 对1维不变子空间span(v)，p(T)v = p(λ)v，显然p(T)v ∈ span(v)；
• 对2维不变子空间U，p(T)|_U的矩阵是p(M)（M是T在U上的限制矩阵），因此U也是p(T)的不变子空间。

现在我们只需要构造一个算子S ∈ ℒ(V)，它不保持这个不变子空间U：
比如n=2时，取T的矩阵为[[0,1],[-1,0]]（无实特征值），所有p(T)的形式都是[[a,b],[-b,a]]（相当于复数的乘法），而算子S = [[1,0],[0,0]]就不在S里——因为S把U=V中的向量(0,1)映射到(0,0)，但T的不变子空间只有{0}和V，而p(T)不会把非零向量映射到零（除非p是零多项式，但S不是零算子）。

再比如n=3时，若T有1维不变子空间span(v1)，构造S满足S(v1)=v2，S(v2)=v1，S(v3)=v3，显然S不保持span(v1)（因为S(v1)=v2 ∉ span(v1)），所以S不可能是某个p(T)，也就说明S不在{p(T)}里。

这样就证明了存在ℒ(V)中的元素不在{p(T)}中，因此两者不相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mmm