基于CPLEX与C++建模：如何线性化两个连续变量的乘积？

我之前用CPLEX做数学建模时刚好处理过完全相同的场景，针对你这种两个0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1的连续变量乘积x*y，最直接且高效的线性化方式是引入辅助变量，再添加一组线性约束来等价替代乘积项，下面给你详细拆解：

核心思路：引入辅助变量z = x*y #

我们可以定义一个新的连续变量z，让它等价于x*y，然后通过以下4个线性约束来确保z和x*y的行为完全一致：

• z ≤ x：保证z不会超过x的取值（因为y≤1，所以x*y ≤x）
• z ≤ y：同理，保证z不会超过y的取值（x≤1，所以x*y ≤y）
• z ≥ x + y - 1：这是关键约束，当x和y都接近1时，它能保证z不会过小（比如x=0.9，y=0.9，那么z≥0.8，而x*y=0.81，刚好落在约束范围内）
• 0 ≤ z ≤ 1：直接限定辅助变量的范围，和x、y保持一致

这组约束的优势在于，它完全刻画了x*y在[0,1]×[0,1]区间上的凸包，不会引入额外的松弛，CPLEX求解时能得到和原问题一致的最优解。

CPLEX/C++代码实现示例 #

假设你已经初始化了CPLEX的环境和模型，下面是具体的代码片段：

#include <ilcplex/ilocplex.h>

int main() {
    IloEnv env;
    try {
        IloModel model(env);

        // 定义原始连续变量x和y，范围[0,1]
        IloNumVar x(env, 0.0, 1.0, ILOFLOAT, "x");
        IloNumVar y(env, 0.0, 1.0, ILOFLOAT, "y");

        // 引入辅助变量z，用于替代x*y，范围[0,1]
        IloNumVar z(env, 0.0, 1.0, ILOFLOAT, "z");

        // 添加线性化约束
        model.add(z <= x);
        model.add(z <= y);
        model.add(z >= x + y - 1.0);

        // 替换目标函数中的x*y为z（示例：假设目标是最大化x*y + 2x + 3y）
        IloObjective obj(env, z + 2*x + 3*y, IloObjective::Maximize);
        model.add(obj);

        // 求解模型（省略求解和结果输出的代码）
        IloCplex cplex(model);
        if (cplex.solve()) {
            std::cout << "最优解：x=" << cplex.getValue(x) 
                      << ", y=" << cplex.getValue(y) 
                      << ", z=x*y=" << cplex.getValue(z) << std::endl;
        }
    } catch (IloException& e) {
        std::cerr << "CPLEX异常：" << e << std::endl;
    }
    env.end();
    return 0;
}

额外注意事项 #

• 这个方法仅适用于x和y都在[0,1]区间的场景，如果变量范围更大，需要调整约束（比如当x∈[a,b]，y∈[c,d]时，约束形式会更复杂）
• 如果你要处理多个变量乘积的情况，需要逐个拆解，或者考虑其他线性化技巧，但两个变量的场景用上面的方法足够高效

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ernando Gomes