求矩阵$A = \begin{pmatrix}1&4\\5&6\end{pmatrix}$的算子范数$\|A\|_{\text{OP}}$计算分步指导

开发者阿泽

2026-5-19

分步计算矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & 4 \5 & 6\end{pmatrix}$的2-算子范数

没问题，我来一步步带你计算这个矩阵的算子范数（这里我们默认是最常用的2-算子范数，也就是由欧几里得向量范数诱导的谱范数）。首先明确它的定义：

$|A|{\text{OP}} = \max{|x|_2=1} |Ax|_2$

根据线性代数结论，这个值等于矩阵$A^TA$（$A$的转置乘以$A$）的最大特征值的平方根，接下来我们一步步拆解计算：

步骤1：计算$A^TA$

先写出$A$的转置矩阵$A^T$：
$A^T = \begin{pmatrix}1 & 5 \4 & 6\end{pmatrix}$

然后按矩阵乘法规则计算$A^TA$的每个元素：

第一行第一列：$1\times1 + 5\times5 = 1 +25 =26$
第一行第二列：$1\times4 +5\times6 =4 +30=34$
第二行第一列：$4\times1 +6\times5 =4 +30=34$
第二行第二列：$4\times4 +6\times6 =16 +36=52$

最终得到：
$A^TA = \begin{pmatrix}26 & 34 \34 & 52\end{pmatrix}$

步骤2：求解$A^TA$的特征值

特征值满足特征方程$\det(A^TA - \lambda I) =0$（$I$为单位矩阵），先写出行列式表达式：
$\det\begin{pmatrix}26-\lambda & 34 \34 & 52-\lambda\end{pmatrix} = (26-\lambda)(52-\lambda) - 34^2$

展开并化简这个式子：
$$
\begin{align*}
(26\times52) -26\lambda -52\lambda +\lambda^2 - 1156 &= 1352 -78\lambda +\lambda^2 -1156 \
&= \lambda^2 -78\lambda +196 =0
\end{align*}
$$

用二次方程求根公式$\lambda = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（这里$a=1, b=-78, c=196$）计算：

判别式：$78^2 -4\times1\times196 =6084 -784=5300$
两个特征值：
$\lambda_1 = \frac{78 + \sqrt{5300}}{2} = 39 +5\sqrt{53}$
$\lambda_2 = \frac{78 - \sqrt{5300}}{2} =39 -5\sqrt{53}$