圆心角为θ、厚度为λ的环形扇形卷成无重叠圆台，求其高度（用θ、λ表示）

嘿，我来一步步帮你推导这个圆台的高度表达式～你一开始用侧面积相等的思路是完全没问题的，但咱们先从弧长和圆台底周长的对应关系入手，会更直观哦！

首先先明确几个关键定义，避免混淆：

• 环形扇形的径向厚度（也就是题目里说的厚度）$λ = R - r$，其中$R$是环形外半径，$r$是内半径；
• 圆心角$θ$用弧度制计算（如果是角度制，最后转成弧度代入即可）；
• 卷成圆台后，设下底（较大的底面）半径为$r_1$，上底半径为$r_2$，圆台的母线长为$l$，高度为$h$。

1. 弧长与圆台底周长的对应关系 #

当把环形扇形卷成无重叠的圆台时，扇形的外弧长刚好等于圆台下底的周长，内弧长等于上底的周长：

• 外弧长对应下底周长：θR = 2πr₁ → 解得 $r_1 = \frac{θR}{2π}$
• 内弧长对应上底周长：θr = 2πr₂ → 解得 $r_2 = \frac{θr}{2π}$

将两个式子相减，得到上下底半径的差值：
$$r_1 - r_2 = \frac{θ(R - r)}{2π} = \frac{θλ}{2π}$$

2. 确定圆台的母线长 #

环形扇形的径向宽度（也就是厚度$λ$），卷成圆台后就是圆台的母线长$l$——因为原来环形的内外半径差，就是圆台侧面母线的长度，所以：
$$l = λ$$

3. 用勾股定理求解高度 #

圆台的高度$h$、母线长$l$、上下底半径差$r_1 - r_2$构成一个直角三角形（高度垂直于底面，母线是斜边），根据勾股定理：
$$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$$

把$l$和$r_1 - r_2$的表达式代入，解出$h$：
$$
\begin{align*}
h &= \sqrt{l^2 - (r_1 - r_2)^2} \
&= \sqrt{λ^2 - \left(\frac{θλ}{2π}\right)^2} \
&= λ\sqrt{1 - \left(\frac{θ}{2π}\right)^2}
\end{align*}
$$

验证：侧面积相等的思路 #

你一开始提到的侧面积相等也可以用来验证推导的正确性：

• 环形扇形的面积：$\frac{θ}{2}(R^2 - r^2) = \frac{θ}{2}(R - r)(R + r) = \frac{θλ}{2}(R + r)$
• 圆台的侧面积：$π(r_1 + r_2)λ$，代入$r_1 + r_2 = \frac{θ(R + r)}{2π}$，可得$π \cdot \frac{θ(R + r)}{2π} \cdot λ = \frac{θλ}{2}(R + r)$，和扇形面积完全相等，说明咱们的推导是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Of course it's not me