UFD的分式域F中，D[x]非零非常元为何在F[x]中非本原？

你的理解完全正确！先帮你理清楚这里的核心概念，就能明白问题出在哪了：

• 本原多项式的定义：对于整环 ( R )，( R[x] ) 中的非零多项式 ( f(x) ) 被称为本原多项式，当且仅当所有系数的最大公因子（gcd）是 ( R ) 中的单位。这个定义是高斯引理的核心，适用于任何整环上的多项式环。
• 域上多项式环的特殊性：当 ( R = F ) 是域时，( F ) 里所有非零元素都是单位（毕竟域中每个非零元都有乘法逆元）。对于 ( F[x] ) 中的任意非零多项式 ( f(x) )，它的系数的gcd必然是 ( F ) 中的某个非零元——也就是单位。所以按照本原多项式的定义，( F[x] ) 中所有非零多项式都是本原多项式，不管它是常数还是非常数，也不管它在 ( D[x] ) 中是不是本原的。
• 关于考试题目可能的问题：你提到的题目说“( D[x] ) 中的非零非常数本原元在 ( F[x] ) 中永远不是本原元”，这显然和定义矛盾。大概率是题目表述有误：
  • 可能出题者混淆了本原多项式和不可约元：( D[x] ) 中的本原多项式在 ( F[x] ) 中可能是可约的（比如 ( x^4 + 1 ) 在 ( \mathbb{Z}[x] ) 中是本原多项式，但在 ( \mathbb{Q}[x] ) 中可以分解为 ( (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) )），但可约性和本原性是完全不同的概念，不能混为一谈。
  • 或者题目里的“本原元”指的是其他概念？比如环的“本原元”（生成环作为模的元素），但这和多项式环的语境完全不匹配。

总结一下：你的逻辑完全没问题，问题大概率出在题目表述的错误或者出题者的概念混淆上。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jonelle Yu