求非3倍数部分的整数分拆数序列{p₃(n)}的生成函数

你这个思路完全找对方向了，确实可以借助欧拉相关的分拆恒等式来解决，咱们一步步理清楚：

首先先回顾已知的整数分拆生成函数：

整数分拆数序列$(p(n)){n\geq0}$的生成函数为：
$$P(x) = \prod{k=1}^{{\infty}\frac{1}{1-x}k}$$

我们要找的是各部分均不为3的倍数的分拆数$p₃(n)$的生成函数，本质上就是把原生成函数中所有对应k为3的倍数的因子去掉，只保留k≡1或2 mod 3的项，所以先写出这个初步形式：
$$P_3(x) = \prod_{\substack{k=1 \ k \not\equiv 0 \mod 3}}^{{\infty}\frac{1}{1-x}k}$$

接下来利用原生成函数的分解技巧：我们可以把$P(x)$拆成三个互斥部分的乘积——k是3的倍数、k≡1 mod 3、k≡2 mod 3的项，也就是：
$$P(x) = \left(\prod_{m=1}^{{\infty}\frac{1}{1-x}{3m}}\right) \times \left(\prod_{m=0}^{{\infty}\frac{1}{1-x}{3m+1}}\right) \times \left(\prod_{m=0}^{{\infty}\frac{1}{1-x}{3m+2}}\right)$$

这里面第一个乘积项其实就是$P(x^3)$（把原生成函数里的x替换成x³即可），而后面两个乘积项的乘积正好就是我们要的$P_3(x)$。所以直接移项就能得到：
$$P_3(x) = \frac{P(x)}{P(x^3)}$$

把$P(x)$和$P(x^3)$的表达式代入，还能进一步化简：
$$P_3(x) = \frac{\prod_{k=1}^{{\infty}\frac{1}{1-x}k}}{\prod_{k=1}^{{\infty}\frac{1}{1-x}{3k}}} = \prod_{k=1}^{{\infty}\frac{1-x}{3k}}{1-x^k}$$

再利用因式分解$1-x^{3k}=(1-xk)(1+x^k+x{2k})$，和分母的$1-x^k$约掉后，就能得到更简洁的形式：
$$P_3(x) = \prod_{k=1}^{\infty}(1+xk+x^{2k})$$

这里补充个小验证：比如n=3时，$p₃(3)$的分拆是1+1+1、1+2，共2种。看生成函数$\prod_{k≠3m}\frac{1}{1-x^{k}$的x³系数，确实是2；而化简后的$\prod_{k=1}}{\infty}(1+x^k+x{2k})$的x³系数，是k=3项的x³加上k=1项的x和k=2项的x²的乘积，也是2，完全对应上。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mking