加法二元运算拓展至整数的Z∼等价关系证明求助

别担心，这个证明其实就是把已知的等价关系条件结合起来，利用自然数加法的基本性质一步步推导就行，我给你拆解得明明白白：

第一步：明确定义与已知条件 #

首先先把核心的定义和题目给出的前提理清楚：

• 等价关系Z∼的定义：对于任意自然数组成的有序对(x,y)和(u,v)，(x,y) Z∼ (u,v) 当且仅当 x + v = y + u（注：你题目里写的是“当且仅当a+c=b+d时，(a,b)Z∼(c,d)”，这里应该是笔误——因为(a,b)对应整数a-b，(c,d)对应c-d，等价的话应该是a-b = c-d，移项后就是a+d = b+c，也就是上面的定义。如果确实是你写的原定义，只需要把下面推导里的对应项调换即可，核心逻辑不变）
• 题目给出的两个等价条件：
  1. 由(a₁,b₁) Z∼ (a₂,b₂)，根据定义可得：a₁ + b₂ = b₁ + a₂ ——（等式1）
  2. 由(c₁,d₁) Z∼ (c₂,d₂)，根据定义可得：c₁ + d₂ = d₁ + c₂ ——（等式2）

第二步：明确需要证明的目标 #

我们要证明的是(a₁+c₁, b₁+d₁) Z∼ (a₂+c₂, b₂+d₂)，根据等价关系的定义，这等价于要证明：
(a₁ + c₁) + (b₂ + d₂) = (b₁ + d₁) + (a₂ + c₂) ——（目标等式）

第三步：推导证明 #

现在把已知的等式1和等式2左右两边分别相加：

• 左边相加的结果：(a₁ + b₂) + (c₁ + d₂)
• 右边相加的结果：(b₁ + a₂) + (d₁ + c₂)

因为自然数的加法满足交换律和结合律，我们可以重新排列左右两边的项：

• 左边重组后：a₁ + c₁ + b₂ + d₂ = (a₁ + c₁) + (b₂ + d₂)
• 右边重组后：b₁ + d₁ + a₂ + c₂ = (b₁ + d₁) + (a₂ + c₂)

这正好就是我们需要证明的目标等式！由此可以直接得出：
(a₁+c₁, b₁+d₁) Z∼ (a₂+c₂, b₂+d₂)

核心思路总结 #

这个证明的关键就是：

• 把等价关系的定义转化为具体的自然数等式；
• 利用自然数加法的交换律、结合律，把两个已知等式组合成目标所需的形式；
• 最后再还原回等价关系的结论。

本质上就是通过加法把四个有序对的条件串联起来，验证运算后的有序对依然满足等价关系的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joesteffy