关于算子$T_t\in B(L_1,L_\infty)$的证明思路是否正确？

首先明确问题核心内容：

对于$t\in \mathbb R^+$，定义算子$T_t$为
$$(T_tg )(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int \exp(-y^2/2t)g(y-x)dy $$
所有使该表达式有定义的函数$g$均适用。需证明或反驳$T_t\in B(L_1,L_\infty)$，其中$ B(L_1,L_\infty)$是从$L_1$到$L_\infty$的有界线性算子集合。

你提出的思路是取$g=1$，此时$(T_tg)(x)=1$，但$g\notin L_1$，想用这个例子反驳结论——很遗憾，这个思路是不成立的，具体原因如下：

• 要判断$T_t$是否属于$B(L_1,L_\infty)$，我们只需要关注算子对所有$L_1$空间内的函数的作用：要求算子能把每个$g\in L_1$映射到$L_\infty$中的函数，并且存在一个常数$C>0$，使得$|T_tg|{L\infty}\leq C|g|_{L_1}$对所有$g\in L_1$都成立。
• 你选的$g=1$并不在$L_1$中（它在$\mathbb{R}$上的积分是无穷大），这完全不在我们讨论的算子定义域范围内，所以这个例子根本无法用来反驳结论——毕竟我们只关心$L_1$内的输入情况。

那正确的分析应该怎么做呢？我们可以直接推导算子的有界性：

对于任意$g\in L_1$，以及任意$x\in\mathbb{R}$，我们先估计$|(T_tg)(x)|$的上界：
$$|(T_tg)(x)| = \left|\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int \exp(-y^2/2t)g(y-x)dy\right|$$
做变量替换$z = y - x$（即$y = z + x$，$dy=dz$），上式可以改写为：
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\left|\int \exp(-(z+x)^2/2t)g(z)dz\right|$$
根据绝对值不等式，我们可以把绝对值移到积分里面：
$$\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int \exp(-(z+x)^2/2t)|g(z)|dz$$
注意到$\exp(-(z+x)^{2/2t)$对任意$z,x$都满足$\exp(-(z+x)}2/2t)\leq 1$（因为指数部分是非正的），所以：
$$\int \exp(-(z+x)^2/2t)|g(z)|dz \leq \int |g(z)|dz = |g|{L_1}$$
代入回去就能得到：
$$|(T_tg)(x)| \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} |g|{L_1}$$
这个不等式对所有$x\in\mathbb{R}$都成立，所以$|T_tg|{L\infty} \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} |g|_{L_1}$。

这就说明$T_t$确实是从$L_1$到$L_\infty$的有界线性算子，也就是$T_t\in B(L_1,L_\infty)$。

最后再强调一下：你的思路问题出在选了一个不在目标定义域里的函数，而$B(L_1,L_\infty)$的定义只约束算子对$L_1$内函数的行为，所以这个例子不具备反驳效力。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eugene