使用Newton-Raphson法求解交点遇导数无穷大问题求助

嘿，我来帮你拆解下这里的两个关键错误：

1. 圆的分支选错了！ #

你从$x^2+y2=16$解出$y=(16-x²⁾{1/2}$，这是**上半圆（y≥0）的表达式，但你的起始点$(4,-4)$对应的是下半圆（y≤0）**啊！正确的代入应该是取负号的分支：$y=-\sqrt{16-x^2}$。

把这个正确的y代入第二个方程$e^{x/3} + \frac{1}{5}y =1$，得到的目标函数应该是：
$$f(x) = 5 - 5e^{x/3} - \sqrt{16-x^2}$$
对应的导数也会变成：
$$f'(x) = -\frac{5}{3}e^{x/3} + \frac{x}{\sqrt{16-x^2}}$$

2. 起始点根本不在第一条曲线上 #

你选的$(4,-4)$其实不满足$x^2+y2=16$（代入算的话是$16+16=32≠16$），而且当x=4时，$\sqrt{16-x^2}=0$，不管你用哪个分支，都会让原导数里的分母直接归零，导数自然就成了无穷大，这肯定没法迭代。

方案一：修正函数+换合适的起始点 #

• 先用上面修正后的$f(x)$和$f'(x)$；
• 换一个离$(4,-4)$近、且不在x=±4处的起始点，比如$(3,-3)$——这个点代入圆方程得$9+9=18≈16$，代入第二个方程得$e^1 + (-3)/5≈2.718-0.6=2.118≈1$，作为起始点很合适。

用这个起始点跑第一次迭代试试：

• $f(3)=5 -5e^1 - \sqrt{16-9}≈5-13.59-2.645≈-11.235$
• $f'(3)= -\frac{5}{3}e^1 + \frac{3}{\sqrt{7}}≈-4.53+1.134≈-3.396$
• $x_1=3 - \frac{-11.235}{-3.396}≈3-3.308≈-0.308$
  接下来继续迭代就能逐步收敛到交点了。

方案二：用多元牛顿-拉夫逊法（更稳妥） #

其实你完全可以不用消元，直接联立两个方程用多元牛顿法求解，这样就不会遇到分支选择的麻烦。

设定两个函数：

• $f_1(x,y)=x^2+y2-16$
• $f_2(x,y)=e^{x/3}+\frac{1}{5}y-1$

迭代公式是：
$$\begin{bmatrix}x_{n+1} \ y_{n+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_n \ y_n\end{bmatrix} - J^{-1}\begin{bmatrix}f_1(x_n,y_n) \ f_2(x_n,y_n)\end{bmatrix}$$
其中雅可比矩阵$J$为：
$$J=\begin{bmatrix}2x & 2y \ \frac{1}{3}e^{x/3} & \frac{1}{5}\end{bmatrix}$$

这个方法下，你用$(4,-4)$作为起始点也完全没问题，因为这个点的雅可比矩阵行列式不为0（可逆），可以正常迭代计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者carsof