请求给出闭区间[0,1]上有原函数但非黎曼可积的有界实值函数示例

嘿，这个问题问得好！在闭区间[0,1]上，Volterra函数就是完美符合要求的例子——它有界、存在原函数，但偏偏不满足黎曼可积的条件。下面我来详细拆解它的构造和核心性质：

一、Volterra函数的构造 #

首先我们需要先构造一个正测度的Cantor型集（区别于测度为0的经典Cantor集）：

1. 从区间[0,1]开始，去掉中间长度为1/4的开区间(1/4, 3/4)，剩下两个闭区间[0,1/4]和[3/4,1]；
2. 对剩下的每个闭区间，去掉各自中间长度为1/8的开区间——也就是从[0,1/4]去掉(1/16, 3/16)，从[3/4,1]去掉(13/16,15/16)；
3. 重复这个过程：第n步时，对每个剩余的闭区间，去掉中间长度为1/2^(n+1)的开区间。

最终剩下的点集记为( C )，它是一个闭集、无处稠密集，且测度为1/2（因为去掉的所有开区间长度之和是( \frac{1}{4} + 2\times\frac{1}{8} + 4\times\frac{1}{16} + \dots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4} = \frac{1}{2} )）。

基于这个集( C )，定义Volterra函数( V: [0,1] \to \mathbb{R} )：

• 若( x \in C )，则( V(x) = 0 )；
• 若( x )属于某个被去掉的开区间( (a,b) )，取区间中点( c = \frac{a+b}{2} )：
  • 当( x \in [a,c] )时，( V(x) = (x-a)^2 \sin\left( \frac{1}{x-a} \right) )；
  • 当( x \in [c,b] )时，( V(x) = (b-x)^2 \sin\left( \frac{1}{b-x} \right) )；
  • 在中点( c )处，( V(c) = 0 )（保证函数在该点连续）。

二、验证三个核心性质 #

1. 函数是有界的 #

观察被去掉区间上的函数值：对于任意被去掉的区间( (a,b) )，( (x-a)^2 )的最大值是( \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 )，而( \sin\left( \frac{1}{x-a} \right) )的绝对值不超过1。由于所有被去掉的区间长度最大为1/4，因此( |V(x)| \leq \left( \frac{1}{8} \right)^2 = \frac{1}{64} )，整个函数在[0,1]上的绝对值不超过1/64，显然有界。

2. 存在原函数 #

我们可以构造原函数( U: [0,1] \to \mathbb{R} )：

• 若( x \in C )，则( U(x) = 0 )；
• 若( x )属于某个被去掉的开区间( (a,b) )：
  • 当( x \in [a,c] )时，( U(x) = \int_a^x t^2 \sin\left( \frac{1}{t} \right) dt )（做变量替换( t = x' - a )）；
  • 当( x \in [c,b] )时，( U(x) = \int_a^c t^2 \sin\left( \frac{1}{t} \right) dt + \int_c^x (b - t')^2 \sin\left( \frac{1}{b - t'} \right) dt' )。

可以严格证明：对于所有( x \in [0,1] )，( U'(x) = V(x) )。即使在集( C )的点上，( U(x) )的导数也是0，与( V(x) )的取值一致。这就说明( V(x) )存在原函数( U(x) )。

3. 不黎曼可积 #

根据勒贝格可积准则：一个有界函数在闭区间上黎曼可积，当且仅当它在该区间上几乎处处连续（即不连续点的测度为0）。

而Volterra函数的不连续点集恰好就是我们构造的正测度集( C )（测度为1/2），不满足“几乎处处连续”的条件，因此它在[0,1]上不黎曼可积。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sanderi