关于汤姆孙葡萄干布丁模型中α粒子穿过原子的原理及计算求证

嘿，这个问题问得很关键——毕竟卢瑟福的散射实验一开始就是基于汤姆孙模型的预期设计的，结果却出了大意外。先给你理清楚核心原因，再算给你看：

首先得回忆下汤姆孙模型的核心：原子是一个均匀带正电的球体（半径约 (10^{-10}\ \text{m})），带负电的电子像葡萄干一样嵌在这个正电球里，整体呈电中性。

α粒子是氦原子核，带 (+2e) 的电荷，质量约 (6.64×10^{-27}\ \text{kg})，速度大概是 (2×10^7\ \text{m/s})（差不多是光速的1/15）。它能穿过原子的关键在于：汤姆孙模型里的正电荷分布太分散了，产生的库仑斥力根本不足以阻挡或显著偏转α粒子。

我们可以通过计算α粒子穿过原子时的最大偏转角来验证这个结论——毕竟如果偏转角极小，就意味着α粒子几乎直线穿过原子。

步骤1：确定关键参数 #

• 原子半径 ( R = 10^{-10}\ \text{m} )（以金原子为例，原子序数 (Z=79)，即正电荷总量为 ( +Ze )，元电荷 (e=1.6×10^{-19}\ \text{C} )）
• α粒子电荷量 ( q=2e )，质量 ( m=6.64×10^{-27}\ \text{kg} )，速度 ( v=2×10^7\ \text{m/s} )
• 库仑常数 ( k=9×10^{9 \text{N·m}}2/\text{C}^2 )

步骤2：计算原子表面的最大库仑力 #

均匀带电球体的表面电场强度最大，公式为：
[ E_{\text{max}} = \frac{kZe}{R^2} ]
α粒子受到的库仑斥力：
[ F = qE_{\text{max}} = \frac{2kZe^2}{R2} ]

代入数值计算：
[
\begin{align*}
F &= \frac{2×9×10^{9×79×(1.6×10}{-19})^2}{(10{-10})^2} \
&= \frac{2×9×10^{9×79×2.56×10}{-38}}{10^{-20}} \
&\approx 3.64×10^{-6}\ \text{N}
\end{align*}
]

步骤3：计算α粒子穿过原子的时间 #

α粒子穿过原子的路径近似为原子直径，时间 ( t )：
[ t = \frac{2R}{v} = \frac{2×10^{-10}}{2×107} = 1×10^{-17}\ \text{s} ]

步骤4：计算动量变化与偏转角 #

动量变化 ( \Delta p = F×t )，初始动量 ( p = mv )，小角度下偏转角 ( \theta ) 近似为 ( \theta \approx \frac{\Delta p}{p} )：

[
\Delta p = 3.64×10^{-6}×1×10{-17} = 3.64×10^{-23}\ \text{kg·m/s}
]
[
p = 6.64×10^{-27}×2×107 = 1.328×10^{-19}\ \text{kg·m/s}
]
[
\theta \approx \frac{3.64×10^{{-23}}{1.328×10}{-19}} \approx 2.74×10^{-4}\ \text{rad} \approx 0.016^\circ
]

结论 #

这个偏转角小到可以忽略不计——也就是说，α粒子穿过汤姆孙模型的原子时，几乎不会发生偏转，直接直线穿过。这也是卢瑟福实验中发现大角度偏转时如此震惊的原因：实际结果完全不符合汤姆孙模型的预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anton