关于《非紧李群的有限维酉表示》论证的疑问及定理探讨

各位同行好，我最近在研读《非紧李群的有限维酉表示》一文时，对其中一处依赖已知定理的论证产生了不小的疑问，已经花了很长时间查找该论断的严谨证明，但一直没有进展。因为是平台新用户没法在原帖下直接评论，所以特意开这个新帖来和大家探讨。

我个人认为文中“已知定理”所验证的论断并不成立：目前通过简单的齐性论证，我能确定该映射是单射李同态，并且处处为浸入，但始终无法证明该映射具备嵌入性（即无法保证它是到其像集的同胚映射）——而这恰恰是原论断成立的关键前提。

一些初步的分析思路 #

• 非紧李群的有限维酉表示存在不少反直觉的性质，比如许多非紧半单李群的有限维酉表示只有平凡表示，这可能和原论断的背景设定直接相关。
• 李群范畴中，单射李同态且处处为浸入的映射，并不天然是嵌入映射。经典的反例比如某些非闭的单参数子群：映射本身是单射且浸入，但像集作为子空间不是闭的，导致映射不是同胚到像集，这完全可能出现在非紧李群的场景中。
• 如果原论断默认了该映射是嵌入，那必须补充额外的约束条件（比如像集是闭子群），但非紧李群本身不具备紧性，无法自动导出这类闭性条件，这可能就是原论证的疏漏之处。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user_phys