含平方根不等式化简问询：原不等式到三次多项式根的推导

没问题，我来一步步拆解原不等式到目标三次多项式的化简过程，逻辑很清晰：

1. 先明确定义域 #

原不等式里有$\sqrt{x}$和$\frac{1}{\sqrt{x}}$，所以**$x$必须大于0**，这是所有操作的前提。

2. 换元消去根号 #

令$t = \sqrt{x}$（显然$t>0$），这样$x = t^2$，把它代入原不等式：
$$-16t^2 -6\sqrt{6}t + \frac{30\sqrt{6}}{t} +72 <0$$
为了去掉分母，两边同时乘$t$（因为$t>0$，不等号方向不变）：
$$-16t^3 -6\sqrt{6}t^2 +30\sqrt{6} +72t <0$$
移项整理成右边为0的形式：
$$16t^3 +6\sqrt{6}t^2 -72t -30\sqrt{6} >0$$

3. 整理成关于$\sqrt{6}$的线性式 #

把式子按含$\sqrt{6}$的项和不含的项分开，提取公因子后，变成关于$\sqrt{6}$的一次表达式：
$$\sqrt{6}(6t^2 -30) +16t^3 -72t >0$$
移项得到：
$$\sqrt{6}(6t^2 -30) > 72t -16t^3$$

4. 分情况讨论，平方消去根号 #

这里要根据$6t^2 -30$的正负性分两种情况：

情况A：$6t^2 -30 >0$（也就是$t>\sqrt{5}$） #

此时两边除以正数$6t^2 -30$，不等号方向不变：
$$\sqrt{6} > \frac{72t -16t^3}{6t2 -30}$$
化简右边：分子提$8t$、分母提$6$，得到$\frac{4t(9-2t^2)}{3(t2-5)}$。因为$t>\sqrt{5}$，$2t^{2-9>2\times5-9=1>0$，所以右边是负数，而左边$\sqrt{6}$是正数，**这个不等式肯定成立**，对应$x=t}2>5$。

情况B：$6t^2 -30 <0$（也就是$0<t<\sqrt{5}$） #

此时两边除以负数$6t^2 -30$，不等号方向要反转：
$$\sqrt{6} < \frac{4t(9-2t^2)}{3(t2-5)}$$
再看右边的正负：当$\sqrt{4.5}<t<\sqrt{5}$时，$9-2t^2<0$且$t2-5<0$，右边是正数；如果$0<t<\sqrt{4.5}$，右边是负数，而左边$\sqrt{6}$是正数，这种情况不可能成立，直接排除。

对$\sqrt{4.5}<t<\sqrt{5}$的有效子情况，两边都是正数，我们可以平方消去根号：
$$6 < \left( \frac{4t(9-2t^2)}{3(t2-5)} \right)^2$$
接下来就是展开整理：

1. 两边同时乘$9(t^2-5)2$（正数，不等号不变）：
   $$54(t^2-5)2 < 16t^2(9-2t2)^2$$
2. 分别展开左右两边的平方项：
   • 左边：$54(t^4-10t2+25)=54t^4-540t2+1350$
   • 右边：$16t^2(4t4-36t^2+81)=64t6-576t^4+1296t2$
3. 把所有项移到左边，合并同类项：
   $$64t^6 -630t^4 +1836t^2 -1350 >0$$
4. 两边除以2简化：
   $$32t^6 -315t^4 +918t^2 -675 >0$$

5. 转化为关于$x$的三次多项式 #

因为$x=t^2$，把$t2$换成$x$，就得到：
$$32x^3 -315x^2 +918x -675 >0$$
这就是你看到的那个三次多项式（只是项的顺序写成了$-675+918x-315x^2+32x3$，本质是一样的）。

最后结合两种情况的结论，原不等式的解就是$x$大于这个三次多项式的最大根——因为三次多项式首项系数为正，当$x$超过最大根后，多项式的值为正，满足不等式；再加上情况A里$x>5$的部分，最终解就是$x$大于该三次多项式的最大根。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1337