线性代数特征值/特征向量：全1矩阵Jₙ相关证明与求解

咱们一步步来拆解这个问题，每个小问都给出详细的推导过程：

(a) 证明$\mathbb{R}^n$中的全1向量是$J_n$的特征向量，并求对应特征值 #

首先定义全1向量：$\mathbf{1} = (1, 1, \dots, 1)^T \in \mathbb{R}^n$。

计算$J_n$与$\mathbf{1}$的乘积：
$J_n$的每一行都是全1的行向量，所以当它乘以$\mathbf{1}$时，每一行的结果都是$1\times1 + 1\times1 + \dots + 1\times1 = n$。因此：
$$J_n\mathbf{1} = n\mathbf{1}$$

根据特征向量的定义：若存在非零向量$\mathbf{v}$和标量$\lambda$使得$J_n\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$，则$\mathbf{v}$是$J_n$对应特征值$\lambda$的特征向量。这里显然满足条件，所以全1向量是$J_n$的特征向量，对应的特征值为$\boldsymbol{n}$。

(b) 证明0是$J_n$的特征值，并求该特征值的几何重数 #

证明0是特征值 #

我们只需要找到一个非零向量$\mathbf{v}$，使得$J_n\mathbf{v} = 0$。比如取$\mathbf{v} = (1, -1, 0, \dots, 0)^T$，计算乘积：
$J_n\mathbf{v}$的第一个元素是$1\times1 + 1\times(-1) + 1\times0 + \dots + 1\times0 = 0$，第二个元素同理也是$1\times1 + 1\times(-1) + \dots = 0$，后面所有元素都是0，因此$J_n\mathbf{v} = 0$。

这说明$\mathbf{v}$是对应特征值0的特征向量，所以0确实是$J_n$的特征值。

求0的几何重数 #

特征值的几何重数是其对应的特征子空间（即$J_n$的零空间$N(J_n)$）的维数。

首先观察$J_n$的秩：$J_n$的所有行向量都相等（都是全1向量），因此它的秩$\text{rank}(J_n) = 1$。根据秩-零度定理：
$$\dim N(J_n) + \text{rank}(J_n) = n$$

代入秩的值，可得：
$$\dim N(J_n) = n - 1$$

所以特征值0的几何重数为$\boldsymbol{n-1}$。

(c) 确定$n\geq2$时$J_n$可对角化的$n$值并证明 #

矩阵可对角化的充要条件是：每个特征值的代数重数等于其几何重数。我们先分析$J_n$的所有特征值及其代数重数：

1. 特征值$n$：从(a)中我们知道它是一个特征值，而$J_n$的迹$\text{tr}(J_n) = n$（主对角线元素之和）。矩阵的迹等于所有特征值的和，假设0的代数重数为$k$，那么：
   $$n + 0\times k = n$$
   由此可得$k = n-1$，即特征值0的代数重数为$n-1$，特征值$n$的代数重数为1。

2. 对应几何重数：

   • 特征值$n$的特征子空间是全1向量的线性张成，维数为1，即几何重数为1，等于其代数重数；
   • 特征值0的几何重数我们在(b)中已经算出是$n-1$，等于其代数重数。

因为所有特征值的代数重数都等于几何重数，所以对于所有$n\geq2$，$J_n$都是可对角化的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HAC