技术问询：求解n辆汽车在4个平行加油机前的排队不同顺序数

咱们来一步步拆解这个问题哈——题目明确设定汽车和加油机都是可区分的，每辆汽车只能排一个队，不管是选了不同加油机，还是同一加油机里的先后位置不同，都算不同的排队情况。

思路一：用“插空法”直观理解 #

一开始加油站有4个空队列，第一辆汽车来的时候，有4个位置可选（每个加油机的队首）；
第二辆汽车来的时候，它可以插在所有现有队列的任意空隙里——包括4个队首，或者第一辆车的后面，总共是4+1=5个位置；
第三辆汽车来的时候，空隙数又多了1，变成5+1=6个位置；
以此类推，第n辆汽车来的时候，总共有 4 + (n-1) = n+3 个位置可选。

把每一步的可选位置数乘起来，就是总排队顺序数：
4 × 5 × 6 × ... × (n+3)
这个乘积可以简化为阶乘形式：$\frac{(n+3)!}{3!}$（因为$(n+3)! = 1×2×3×4×...×(n+3)$，除以$3!$就剩下4到n+3的乘积）

思路二：等价转化为“排序加分隔”验证 #

我们也可以换个角度想：

1. 先给n辆汽车排好一个总的顺序，这一步有 n! 种方式；
2. 在这些汽车之间插入3个“分隔标记”——这3个标记会把整个序列分成4段，每一段对应一个加油机的队列（比如第一个分隔前的是加油机1的队列，分隔1和2之间的是加油机2的，以此类推）。

插入分隔标记的方式有多少种呢？n辆汽车之间有n+1个空隙（包括序列首尾），我们要选3个空隙放分隔标记（允许多个标记插在同一个空隙，对应某个加油机没有汽车），这种选法的数量是组合数 $\binom{n+3}{3}$，也就是 $\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}$。

把两步的结果相乘，总顺序数就是：
n! × \binom{n+3}{3} = n! × \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} = \frac{(n+3)!}{3!}
和思路一的结果完全一致，验证了答案的正确性。

如果题目假设加油机是不可区分的，计算方式会不一样，但根据题目初始设定，咱们上面的结果就是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Karim Shoorbajee