$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中$\overline{a}=\overline{-a}$的证明习题求解咨询

别担心，这两个结论的证明核心就是紧扣模n同余的定义和整数整除的性质，咱们一步步把双向推导都理清楚：

方向1：$\overline{a}=\overline{-a} \Rightarrow \overline{a}=\overline{0}$ #

根据$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中等价类相等的定义，$\overline{a}=\overline{-a}$意味着：

$a \equiv -a \pmod{n}$
把右边的$-a$移到左边，得到：
$2a \equiv 0 \pmod{n}$
也就是n整除2a，记作$n \mid 2a$。
因为n是奇数，所以$\gcd(n,2)=1$（n和2互质）。根据整数整除的性质：如果一个数整除两个数的乘积，且它和其中一个数互质，那么它必然整除另一个数。这里n整除2a，且n与2互质，所以$n \mid a$，即$a \equiv 0 \pmod{n}$，对应等价类就是$\overline{a}=\overline{0}$。

方向2：$\overline{a}=\overline{0} \Rightarrow \overline{a}=\overline{-a}$ #

这个方向很直接：如果$\overline{a}=\overline{0}$，那么$\overline{-a}=\overline{-0}=\overline{0}$，显然$\overline{0}=\overline{0}$，所以$\overline{a}=\overline{-a}$成立。

方向1：$\overline{a}=\overline{-a} \Rightarrow \overline{a}=\overline{0}\text{ 或 }\overline{a}=\overline{n/2}$ #

同样从等价类相等的定义出发：

$a \equiv -a \pmod{n} \implies 2a \equiv 0 \pmod{n}$
即$n \mid 2a$。因为n是偶数，设$n=2k$（k是整数），代入得：
$2k \mid 2a$
两边同时约去2（整数整除的基本性质），得到$k \mid a$，也就是$a = mk$，其中m是整数。
现在看$a$模$n=2k$的结果：

• 当m是偶数时，$m=2t$，则$a=2tk=tn$，所以$a \equiv 0 \pmod{n}$，对应$\overline{a}=\overline{0}$；
• 当m是奇数时，$m=2t+1$，则$a=(2t+1)k=2tk +k=tn +k$，所以$a \equiv k \pmod{n}$，而$k=n/2$，对应$\overline{a}=\overline{n/2}$。
  因此$\overline{a}$只能是$\overline{0}$或$\overline{n/2}$。

方向2：$\overline{a}=\overline{0}\text{ 或 }\overline{a}=\overline{n/2} \Rightarrow \overline{a}=\overline{-a}$ #

分两种情况验证：

• 若$\overline{a}=\overline{0}$：和奇数情况一样，$\overline{-a}=\overline{0}=\overline{a}$，成立；
• 若$\overline{a}=\overline{n/2}$：计算$\overline{-a}=\overline{-n/2}$，根据模n的性质，$-n/2 \equiv n - n/2 = n/2 \pmod{n}$，所以$\overline{-n/2}=\overline{n/2}=\overline{a}$，成立。

这样就完成了两个结论的双向证明，核心就是把等价类的等式转化为整数同余式，再结合n的奇偶性分析整除关系~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dr. Heinz Doofenshmirtz