如何证明线性微分方程组的朗斯基行列式满足W'(t)=tr(A)W(t)？

这是线性微分方程理论里的核心结论之一，我来一步步拆解推导过程，保证每一步都清晰：

1. 明确已知条件与定义 #

• 给定线性微分方程组：$X'(t) = A(t)X(t)$，其中$A(t)$是n×n阶连续函数矩阵。
• ${X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)}$是方程组的一个基本解组（线性无关的解集合），每个$X_i(t)$都是n维列向量，满足$X_i'(t) = A(t)X_i(t)$。
• 朗斯基行列式定义为：$W(t) = \det\left(X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)\right)$——也就是把这n个解向量作为列构成的矩阵的行列式。

2. 利用行列式的导数法则 #

对于由列向量构成的矩阵，行列式的导数等于依次将每一列替换为该列的导数后，所得n个行列式的和。用公式表示就是：
$$W'(t) = \sum_{k=1}^n \det\left(X_1(t), X_2(t), \dots, X_k'(t), \dots, X_n(t)\right)$$

3. 代入解满足的微分方程 #

因为每个$X_k(t)$是方程组的解，所以$X_k'(t) = A(t)X_k(t)$。把这个代入上面的和式中，得到：
$$W'(t) = \sum_{k=1}^n \det\left(X_1(t), \dots, A(t)X_k(t), \dots, X_n(t)\right)$$

4. 展开矩阵与向量的乘积，利用行列式的线性性质 #

矩阵$A(t)$乘以列向量$X_k(t)$的结果，本质是$X_1(t), \dots, X_n(t)$的线性组合：
$$A(t)X_k(t) = \sum_{j=1}^n A_{jk}(t)X_j(t)$$
（这里$A_{jk}(t)$是矩阵$A(t)$第j行第k列的元素）

根据行列式对某一列的线性性质，我们可以把这个线性组合拆成n个行列式的和：
$$\det\left(X_1, \dots, A X_k, \dots, X_n\right) = \sum_{j=1}^n A_{jk}(t) \cdot \det\left(X_1, \dots, X_j, \dots, X_n\right)$$

5. 简化行列式项 #

观察上面的和式：

• 当$j \neq k$时，行列式的第k列和第j列都是$X_j(t)$，两列相同的行列式值为0，这部分项直接消失。
• 当$j = k$时，行列式就是原朗斯基行列式$W(t)$，对应项为$A_{kk}(t) \cdot W(t)$。

因此，每个行列式项最终简化为：
$$\det\left(X_1, \dots, A X_k, \dots, X_n\right) = A_{kk}(t) \cdot W(t)$$

6. 求和得到结论 #

把所有项加起来，就是：
$$W'(t) = \sum_{k=1}^n A_{kk}(t) \cdot W(t)$$
而$\sum_{k=1}^n A_{kk}(t)$正是矩阵$A(t)$的迹（trace），记作$\text{tr}(A(t))$。所以最终得到：
$$W'(t) = \text{tr}(A(t)) \cdot W(t)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vrouvrou