是否存在满足特定自同构条件的图？若存在求小型实例

嘿，这个问题问得相当巧妙——答案是存在这样的图，而且确实有小型实例可以直观地展示出来。

先明确两个条件的核心含义：

1. 图中没有“绝对特殊”的节点：每个节点都能被至少一个自同构映射到其他节点（不存在全局不动点的节点）。
2. 不存在“完全打乱”所有节点的自同构：任何自同构操作都至少会留下一个节点不动。

经典小型实例：7节点子群关联图 #

我们可以通过群的子群构造这个图：
取交替群 $A_4$（由4个元素的偶置换组成，共12个元素），它的非平凡子群包括：3个克莱因四元子群（阶为4）、4个3阶循环子群。我们以这7个子群作为图的节点，定义两个节点相邻当且仅当对应的子群交集为平凡子群（即仅包含单位元）。

现在验证两个条件：

条件1：每个节点都能被自同构移动

$A_4$ 的自同构群（同构于 $S_4$）通过共轭作用在子群集合上：

• 所有3阶循环子群在共轭作用下是互相传递的，任意一个3阶子群都能被映射到另一个；
• 所有克莱因四元子群同样在共轭作用下传递，任意一个四元子群也能被映射到另一个。
  因此没有节点是全局不动点，每个节点都能被自同构移动。

条件2：不存在无不动点的自同构

$S_4$ 中的任何元素作用在这些子群上时：

• 3-循环元素会固定它自身生成的那个3阶循环子群；
• 双对换元素会固定包含它的克莱因四元子群；
• 4-循环元素在共轭作用下，会将3阶子群和四元子群交叉置换，但通过轨道分析可知，必然存在至少一个子群被固定。
  也就是说，任何自同构操作都无法移动所有节点，总会留下至少一个节点不动。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vor