独立事件概率系列问题求解：含条件概率与交并事件计算

嘿，我来帮你搞定这道概率题的第三问！先快速梳理下你已经完成的前两题成果：

• 第一题：通过独立事件条件算出 $P(A∪B)=5/9$（也就是你说的$k$）
• 第二题：基于$P(A∪B)=5/9$和$P(A|B)=1/3$，得出$P(A∩B)=1/3$

接下来我们聚焦第三问：已知$P(A∩B)=1/3$，$P(A|B')=1/3$，求$P(B|A)$。

核心思路 #

要求$P(B|A)$，我们可以直接用条件概率公式：
$$P(B|A)=\frac{P(A∩B)}{P(A)}$$
已知$P(A∩B)=1/3$，所以关键是求出$P(A)$的值。

步骤推导 #

1. 先利用已知的$P(A|B')=1/3$展开条件概率：
   $$P(A|B')=\frac{P(A∩B')}{P(B')}=\frac{P(A)-P(A∩B)}{1-P(B)}=\frac{1}{3}$$
   这里用到了概率的基本性质：$P(A∩B')=P(A)-P(A∩B)$，以及$P(B')=1-P(B)$。

2. 结合第二题的隐含条件：$P(A∪B)=5/9$，根据并集概率公式：
   $$P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$$
   代入已知值$P(A∪B)=5/9$和$P(A∩B)=1/3$，可得：
   $$\frac{5}{9}=P(A)+P(B)-\frac{1}{3}$$
   整理后得到：
   $$P(A)+P(B)=\frac{5}{9}+\frac{3}{9}=\frac{8}{9} \quad → \quad P(B)=\frac{8}{9}-P(A)$$

3. 设$P(A)=a$，将$P(B)=\frac{8}{9}-a$代入步骤1的等式：
   $$\frac{a - \frac{1}{3}}{1 - (\frac{8}{9}-a)}=\frac{1}{3}$$
   先化简分母：$1 - \frac{8}{9}+a=\frac{1}{9}+a$，于是等式变为：
   $$\frac{a - \frac{1}{3}}{a + \frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$$

4. 交叉相乘求解$a$：
   $$3(a - \frac{1}{3})=a + \frac{1}{9}$$
   展开左边：$3a - 1 = a + \frac{1}{9}$
   移项计算：$2a = 1 + \frac{1}{9}=\frac{10}{9} \quad → \quad a=\frac{5}{9}$
   也就是$P(A)=\frac{5}{9}$。

5. 最后计算$P(B|A)$：
   $$P(B|A)=\frac{P(A∩B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac{3}{5}$$

最终结论 #

第三问的结果是$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$（或0.6）。

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