$\mathbb C[[X]]$环自同构与$\mathbb C$、$\mathbb C[X]$可定义性技术问询

咱们先拆解一下这两个问题，其实它们是同一类问题的两种问法：第一个问的是给定某个有限子集，能不能找到满足要求的自同构；第二个问的是不管给哪个有限子集，都能找到这样的自同构吗？咱们分开说：

一、部分有限子集存在满足条件的自同构 #

比如当子集里全是常数的时候（比如$A={1, i}$），咱们可以很容易构造出符合要求的自同构：

• 取$f(X) = X + X^{2$，然后把这个映射延拓到整个幂级数环：对任意幂级数$\sum_{n=0}}\infty c_n X^n$，$f\left(\sum c_n X^n\right) = \sum c_n (X+X²⁾n$。
• 验证一下：
  • 所有常数$c \in A$都被$f$固定，因为$f(c) = c$（常数代入任何映射都不变）；
  • 看$\mathbb{C}[X]$：$f$把多项式$p(X)$变成$p(X+X^{2)$，这还是个多项式，但反过来，$X$没法写成某个多项式$p(X)$在$f$下的像——你试着展开$p(X+X}2)$就会发现，要得到纯$X$项，需要无限调整系数，这在有限次多项式里做不到，所以$X \notin f(\mathbb{C}[X])$，自然$f(\mathbb{C}[X]) \neq \mathbb{C}[X]$。

二、不是所有有限子集都能找到这样的自同构 #

比如当子集$A={X}$时，就不存在满足条件的自同构：

• $\mathbb{C}[[X]]$的环自同构要是固定$X$，要么是恒等映射，要么是把$\mathbb{C}$的某个自同构$\sigma$套到系数上（比如把$\sqrt{2}$映射到$-\sqrt{2}$，但变量还是$X$）；
• 不管哪种情况，$f$都会把$\mathbb{C}[X]$映射到$\mathbb{C}[X]$——毕竟系数经过$\sigma$之后还是$\mathbb{C}$里的元素，变量还是$X$，所以多项式映射完还是多项式，没法做到$f(\mathbb{C}[X]) \neq \mathbb{C}[X]$。

三、相关的可定义性问题 #

先明确一下题目里的逻辑：如果子集$D$能由有限子集$A$定义，那所有固定$A$的自同构都必须把$D$映射到自身（也就是集合意义下固定$D$）。咱们用这个逻辑来分析：

1. $\mathbb{C}[X]$不能由任何有限子集定义 #

刚才咱们构造了固定有限常数集$A$的自同构$f$，使得$f(\mathbb{C}[X]) \neq \mathbb{C}[X]$，这直接违反了可定义性的必要条件——要是$\mathbb{C}[X]$能由某个有限子集定义，那所有固定该子集的自同构都得固定$\mathbb{C}[X]$，但咱们找到了反例，所以结论是$\mathbb{C}[X]$没法用有限子集定义。

2. $\mathbb{C}$可以由有限子集（甚至空集）定义 #

不管你固定哪个有限子集$A$，对应的自同构$f$都会诱导$\mathbb{C}$的一个自同构$\sigma$，而$\sigma(\mathbb{C}) = \mathbb{C}$（因为$\sigma$是$\mathbb{C}$到自身的双射），所以$f(\mathbb{C}) = \mathbb{C}$。而且实际上，$\mathbb{C}$本身就是$\mathbb{C}[[X]]$中所有导数为0的元素（幂级数导数为0当且仅当所有非常数项系数都是0），这个定义不需要任何参数，当然也能用有限子集来定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user