求τ的极大似然估计量：似然函数取对数的求解疑问

别慌！我来一步步帮你搞定对数似然的计算，之后求极大似然估计就水到渠成了～

首先再把给定的截尾样本似然函数摆出来：
$$L(\tau) = \prod_{i=1}^r \frac{1}{\tau} e^{-t_i/\tau} \prod_{j=1}^{n-r} e^{-t_r/\tau}$$
这里要先搞懂两个乘积项的意义：

• 前半部分$\prod_{i=1}^r \frac{1}{\tau} e^{-t_i/\tau}$：是r个已经失效的样本的概率密度函数乘积，每个失效样本的密度就是指数分布的$f(t;τ)$
• 后半部分$\prod_{j=1}^{n-r} e^{-t_r/\tau}$：是n-r个截尾样本的生存概率乘积——这些样本在截尾时刻$t_r$还没失效，对应的生存概率是$P(T > t_r) = e^{-t_r/\tau}$

取对数的核心作用是把复杂的乘积运算转成求和，极大简化后续的求导计算。我们利用对数的几个基本性质：

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
• $\ln(a^k) = k\ln a$
• $\ln(e^x) = x$

现在逐项处理：

1. 处理第一个乘积项的对数：
   $$\ln\left( \prod_{i=1}^r \frac{1}{\tau} e^{-t_i/\tau} \right) = \sum_{i=1}^r \left( \ln\left(\frac{1}{\tau}\right) + \ln\left(e^{-t_i/\tau}\right) \right)$$
   展开后化简：
   $$= \sum_{i=1}^r \left( -\ln\tau - \frac{t_i}{\tau} \right) = -r\ln\tau - \frac{1}{\tau}\sum_{i=1}^r t_i$$

2. 处理第二个乘积项的对数：
   $$\ln\left( \prod_{j=1}^{n-r} e^{-t_r/\tau} \right) = \sum_{j=1}^{n-r} \ln\left(e^{-t_r/\tau}\right)$$
   因为每个项都是一样的，直接求和：
   $$= -(n-r)\frac{t_r}{\tau}$$

把两部分加起来，就得到对数似然函数$\ell(\tau) = \ln L(\tau)$：
$$\ell(\tau) = -r\ln\tau - \frac{1}{\tau}\left( \sum_{i=1}^r t_i + (n-r)t_r \right)$$

接下来我们要找使得$\ell(\tau)$最大的$\tau$，方法是对$\tau$求导，令导数为0，解出$\tau$。

1. 对对数似然函数求导：
   $$\frac{d\ell(\tau)}{d\tau} = -\frac{r}{\tau} + \frac{1}{\tau^2}\left( \sum_{i=1}^r t_i + (n-r)t_r \right)$$

2. 令导数等于0，解τ：
   $$-\frac{r}{\tau} + \frac{1}{\tau^2}\left( \sum_{i=1}^r t_i + (n-r)t_r \right) = 0$$
   两边同时乘以$\tau^2$（因为$\tau$是平均失效时间，肯定大于0，所以乘完不改变等式方向）：
   $$-r\tau + \sum_{i=1}^r t_i + (n-r)t_r = 0$$
   整理后得到：
   $$\hat{\tau} = \frac{\sum_{i=1}^r t_i + (n-r)t_r}{r}$$

简单解释下这个结果：分子是所有样本的总试验时间——r个失效样本的失效时间总和，加上n-r个截尾样本从试验开始到截尾时刻$t_r$的累计试验时间；分母是失效样本的数量r，这个结果完全符合指数分布截尾样本MLE的直观逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者charles1232