如何求解算法衍生的三重求和表达式？

没问题，咱们一步步拆解这个三重求和，搞清楚每一步的逻辑～首先明确：这里的$c$是和$i,j,k$都无关的常数（如果$c$是变量解法会不同，但从表达式来看应该是常数）。

嵌套求和的核心规则是从内到外逐层计算，就像剥洋葱一样，咱们从最内层的$k$求和开始入手。

第一步：计算最内层的$\sum_{k=1}^{n/2}c$ #

常数求和的本质就是「常数 × 求和的项数」。这里$k$从1到$n/2$，一共$\frac{n}{2}$个项（默认$n$是偶数，保证项数为整数；如果$n$是奇数，通常会写成$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，计算逻辑一致，只是把$\frac{n}{2}$换成向下取整后的数值即可）。

所以最内层的结果是：
$$\sum_{k=1}^{n/2}c = c \times \frac{n}{2}$$

第二步：代入中间层的$\sum_{j=1}^{i2}\left( c \times \frac{n}{2} \right)$ #

把第一步的结果代入中间层后，$c \times \frac{n}{2}$是和$j$无关的常数，同样套用「常数 × 项数」的规则。这里$j$从1到$i^{2$，一共$i}2$个项。

中间层的结果是：
$$\sum_{j=1}^{i2}\left( c \times \frac{n}{2} \right) = c \times \frac{n}{2} \times i^2$$

第三步：代入最外层的$\sum_{i=1}^{n}\left( c \times \frac{n}{2} \times i^2 \right)$ #

把第二步的结果代入最外层，先把和$i$无关的常数$c \times \frac{n}{2}$提取到求和符号外面，剩下的就是整数平方和的经典求和：$\sum_{i=1}^{n}i2$。

我们有现成的平方和公式：
$$\sum_{i=1}^{n}i2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

把公式代入后，最外层的计算就是：
$$\sum_{i=1}^{n}\left( c \times \frac{n}{2} \times i^2 \right) = c \times \frac{n}{2} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

第四步：合并化简得到最终结果 #

把上面的式子整理约分：
$$c \times \frac{n}{2} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = c \times \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{12}$$

所以最终的结果就是：
$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}{i^2}\sum_{k=1}{n/2}c = \frac{c n^2 (n+1)(2n+1)}{12}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Doe