计算极限limₓ→∞ x⁵/2^√x，使用洛必达法则是否有误？

首先得说——你这第一步洛必达的导数计算就出错啦😅！我们来拆解下问题：

先纠正你的导数计算 #

分子$x^{5$的导数是$5x}4$，这个没问题，但分母$2^{\sqrt{x}}$的导数得用复合函数求导法则：
设$u = \sqrt{x} = x^{{1/2}$，那么$2}u$的导数是$2^u \cdot \ln2 \cdot u'$，而$u' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
所以分母的正确导数应该是：
$$2^{\sqrt{x}} \cdot \ln2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln2 \cdot 2^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$$

那第一次洛必达之后的式子应该是：
$$\lim_{x\to\infty}\frac{5x^4}{\frac{\ln2 \cdot 2^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{10x^4\sqrt{x}}{\ln2 \cdot 2^{\sqrt{x}}}$$

为什么直接洛必达“看起来不理想”？ #

哪怕导数算对了，直接对原极限用洛必达，分子会出现$x^{{4.5}$这种半次数项，看起来还是复杂，但本质上：**指数函数（哪怕是$2}{\sqrt{x}}$这种“慢指数”）的增长速度远远超过任何多项式**，所以不管分子是多少次多项式，最终都会被分母甩在后面，极限必然是0。

更清晰的解法：变量替换 #

不如先做个变量替换简化问题：令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，当$x\to\infty$时，$t\to\infty$。原极限转化为：
$$\lim_{t\to\infty}\frac{(t²⁾5}{2^t} = \lim_{t\to\infty}\frac{t^{10}}{2t}$$

这个时候用洛必达法则就一目了然了：每用一次洛必达，分子的次数降1，分母始终是$2^t \cdot \ln2$（趋向无穷）。连续用10次洛必达后，分子会变成常数，分母趋向无穷，所以极限为0。

当然，也可以用“指数函数增长快于多项式”的结论直接得出结果，不用反复洛必达~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Spectacles4