证明：存在ε>0且含两两距离>ε的不可数集的度量空间非可分

首先先纠正你之前对稠密性的表述错误：可分空间的可数稠密子集E满足的是：

∀y∈Y，∀ε>0，∃e∈E，使得d(y,e)<ε
也就是空间中任意一点的任意ε邻域里，都能找到E中的点；等价地说，Y中每个开集都与E相交。你之前写的顺序搞反啦，这应该是你卡壳的原因之一。

接下来用反证法完成证明，步骤如下：

1. 反证假设：假设度量空间Y是可分的，那么根据定义，存在一个可数的稠密子集E⊆Y。
2. 给定条件：设S是Y中的不可数子集，且存在ε>0，使得对任意x,y∈S（x≠y），都有d(x,y)>ε（这样的S称为ε-分离集）。
3. 构造开球：对每个s∈S，考虑以s为球心、ε/2为半径的开球B(s, ε/2)。
   • 注意：每个B(s, ε/2)中最多只能包含S中的一个点（也就是s自己）。如果有两个不同的点s₁,s₂∈S∩B(s, ε/2)，根据三角不等式，d(s₁,s₂) ≤ d(s₁,s) + d(s,s₂) < ε/2 + ε/2 = ε，这和S是ε-分离集的条件矛盾。
4. 利用稠密性：因为E是Y的稠密子集，所以每个开球B(s, ε/2)都必须与E相交（稠密性的核心：所有开集都和稠密子集相交）。也就是说，对每个s∈S，至少存在一个e_s ∈ E ∩ B(s, ε/2)。
5. 构造单射映射：定义映射f: S → E，其中f(s) = e_s。现在证明这个映射是单射：
   • 假设f(s₁) = f(s₂) = e，那么e ∈ B(s₁, ε/2)且e ∈ B(s₂, ε/2)，根据三角不等式：
     d(s₁,s₂) ≤ d(s₁,e) + d(e,s₂) < ε/2 + ε/2 = ε
     但s₁,s₂是S中不同的点，根据S的ε-分离性，d(s₁,s₂) > ε，这就产生了矛盾。因此f是单射。
6. 导出矛盾：单射映射意味着集合S的基数不大于E的基数，即|S| ≤ |E|。但E是可数集，S是不可数集，这显然矛盾。

因此，我们的反证假设不成立，原命题得证：如果度量空间存在这样的不可数ε-分离集，那么它一定不是可分的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vinny Chase