寻求分解方式数量超多项式的有限群实例

嘿，这个问题问到点子上了！要找直积分解方式数量远超多项式增长的有限群，初等阿贝尔p-群绝对是最经典的例子——它们的分解数增长速度完全能满足你的需求。

初等阿贝尔p-群是指同构于$k$个$p$阶循环群直积的群，记作$E_{p^k} \cong C_p \times C_p \times \dots \times C_p$（共$k$个因子），它的阶是$n=p^k$。

这类群的直积分解数量（不计因子顺序和同构意义下），本质上等价于正整数$k$的分拆数$p(k)$——也就是把$k$拆成若干正整数之和的不同方式数。而分拆数的增长速度是超多项式的，甚至是指数级以上的：根据Hardy-Ramanujan渐近公式，$p(k) \sim \frac{1}{4k\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{2k/3}}$，显然比任何关于$k$的多项式都快。

由于$k = \log_p n$，分拆数$p(k)$是关于$n$的超多项式函数，完全符合你要的“分解方式数量关于$n$呈超多项式”的要求。

举个具体例子，当$k=5$时，分拆数$p(5)=7$，对应的直积分解有：

• $E_{p^5} \cong C_p^5$（单个5阶“块”）
• $C_p^4 \times C_p$
• $C_p^3 \times C_p^2$
• $C_p^3 \times C_p \times C_p$
• $C_p^2 \times C_p^2 \times C_p$
• $C_p^2 \times C_p \times C_p \times C_p$
• $C_p \times C_p \times C_p \times C_p \times C_p$

这是因为初等阿贝尔p-群可以看作$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$上的$k$维向量空间，它的直积分解对应向量空间的直和分解——而直和分解的数量直接由维度的分拆数决定。这类群没有非平凡的不可分解子群之外的结构限制，所以能拆出超多不同的组合。

如果想要阶是多个不同素数幂乘积的群，比如$G = E_{p_1^{k_1}} \times E_{p_2^{k_2}} \times \dots \times E_{p_m^{{k_m}}$（其中$p_1,p_2,\dots,p_m$是不同素数），那么它的直积分解数就是各个初等阿贝尔群分解数的乘积：$\prod_{i=1}}m p(k_i)$。这种情况下，分解数的增长速度只会更快，远超多项式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者old